4. Линейные модели тренда Предположим, что имеет место линейная зависимость т. Е.

. (3.4.1)

Найдем оценки коэффициентов a и b по фактическим данным об уровнях ряда (t_i; y_i) (i=1,…,n) так, чтобы сумма квадратов отклонений теоретической кривой от реальных данных была минимальной

(3.4.2)

или

. (3.4.2а)

Возьмем частные производные Q по параметрам a и b и приравняем их нулю

, (3.4.3)

.

Первое уравнение системы (3.4.3) можно преобразовать к виду

или

.

Второе уравнение можно преобразовать к виду

.

Таким образом, мы имеем систему уравнений

,

. (3.4.4)

Ее решение позволяет найти оценки параметров a и b.

Для упрощения расчетов (при нечетном количестве точек ряда – 2к+1) будем считать, что ряд образуется для моментов времени –к, -к+1, … 0, 1, 2, ….. к .

Тогда

и система уравнений имеет решение

,

. (3.4.5)

Полученная модель используется для прогноза показателя на момент времени t_L

(3.4.6)

Ошибки в оценке параметров приводят к ошибке в оценке тренда (среднего уровня), т. е. величина (t_L) является случайной.

Дисперсия ошибки прогноза оценивается по формуле

(3.4.7)

где y(t_L)– истинное значение величины:

;

n – количество точек имеющегося временного ряда;

L – количество точек периода упреждения;

- оценка остаточной дисперсии.

Из формулы (3.4.7) следует, что дисперсия ошибки прогноза увеличивается с увеличением периода упреждения (L) и уменьшается с увеличением числа точек временного ряда (n).

ПРИМЕР. Опишем динамику добычи угля в Англии за ряд лет (табл. 5) линейной зависимостью.

Т а б л и ц а 5. Динамика добычи угля в Англии

ti	yi	ti2	yiti		i
-2	227	4	-454	227	0
-1	219	1	-219	218	1
0	209	0	0	209	0
1	197	1	197	200	-3
2	193	4	386	191	2
Итого	1045	10	-90		0

т. е. линейная модель имеет вид

.

При этом

Результаты расчетов приведены в пятом столбце таблицы

При прогнозировании на 3 года (t_L=5) прогноз добычи угля по модели составит

.

Определим дисперсию ошибки прогноза по формуле (4.5.7), оценив предварительно остаточную дисперсию.

;

.

Задание № 2

Выберите из табл.6 временной ряд в соответствии с номером Вашего варианта (по последней цифре шифра зачетной книжки)

Таблица 6. Исходные данные по вариантам

Номер варианта	Временной ряд
	1	2	3	4	5
1	26,7	27,3	28,8	30,9	31,2
2	616	635	657	707	716
3	85,4	87,2	93,4	97,1	97,2
4	865	867	910	999	1025
5	304	325	344	359	386
6	212,3	216,2	219,8	223,2	226,4
7	145,0	152,9	164,6	168,8	181,3
8	59,1	56,1	58,9	58,4	57,5
9	78,5	81,1	87,3	91,7	96,4
10	292,3	327,6	369,3	412,4	458,9

1. Рассчитать показатели динамики – абсолютный прирост, коэффициент роста, коэффициент прироста (цепные и базисные).

2. Найти средний абсолютный прирост и средний коэффициент роста.

3. Подобрать линейную зависимость вида . Найти оценки коэффициентов и по методу наименьших квадратов.

4. Сделать прогноз показателя по математической модели тренда на 3 года вперед и найти оценку дисперсии ошибки прогноза

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Айвазян С. А. Эконометрика: учеб. пособие для студентов вузов. – М. : Маркет ДС, 2007.- 98 с.

2. Богданов А. И. Математические модели прогнозирования: монография.- СПб.: СПГУТД, 2007.- 128 с.

3. Богданов А.И. Эконометрика: учеб. пособие. – СПб: СПГУТД, 2010.- 105 с.

4. Дубина И. Н. Математико-статистические методы в эмпирических социально-экономических исследованиях: учеб. пособие по дисциплине «Эконометрика». –М. : Финансы и статистика, 2010. – 413 с.

5. Кремер Н. Ш. /Эконометрика ; под ред. Н.Ш. Кремера/ Н.Ш.Кремер, Б.А. Путко, 3-е изд. - М.: ЮНИТИ, 2010.- 328 с.

6. Эконометрика / под ред. И.И. Елисеевой. 2-е изд.- М.: Финансы и статистика, 2005.- 576 с.

30