2.9. Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку называется скалярная физическая величина, равная

(1)

где — проекция вектора на направление нормали к площадке dS ( — угол между векторами ); — вектор, модуль которого равен dS, а направление его совпадает с направлением нормали к площадке. Поток вектора может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от знака (определяется выбором положительного направления нормали п). Поток вектора свя-зывают с контуром, по которому течет ток. В таком случае положительное направление нормали к контуру нами уже определено: оно связывается с током правилом правого винта. Следовательно, магнитный поток, создаваемый контуром через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен.

Поток вектора магнитной индукции через произвольную поверхность S равен

(2)

Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору и

Из этой формулы определяется единица магнитного потока вебер (Вб): 1 Вб — магнитный поток, проходящий сквозь плоскую поверхность площадью , расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1 Тл ( ).

Теорема Гаусса для поля : поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю:

(3)

Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

Итак, для потоков векторов и сквозь замкнутую поверхность в вихревом и потенциальном полях получаются различные выражения [см. (3)].

В качестве примера рассчитаем поток вектора сквозь соленоид. Магнитная индукция однородного поля внутри соленоида с сердечником с магнитной проницаемостью равна

Магнитный поток сквозь один виток соленоида площадью S равен

а полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида и называемый потокосцеплением,

На проводник с током в магнитном поле действуют силы, определяемые законом Ампера. Если проводник не закреплен (например, одна из сторон контура изготовлена в виде подвижной перемычки, рис. 179), то под действием силы Ампера он будет в маг-нитном поле перемещаться. Следовательно, магнитное поле совершает работу по перемещению проводника с током.

(рис. 179)

Для определения этой работы рассмотрим проводник длиной l с током I (он может свободно перемещаться), помещенный в однородное внешнее магнитное поле, перпендикулярное плоскости контура. Сила, направление которой определяется по правилу левой руки, а значение — по закону Ампера равна

Под действием этой силы проводник переместится параллельно самому себе на отрезок dx из положения 1 в положение 2. Работа, совершаемая магнитным полем, равна

где — площадь, пересекаемая проводником при его перемещении в магнитном поле; — поток вектора магнитной индукции, пронизывающий эту площадь.

Таким образом

(1)

т. е. работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток, пересеченный движущимся проводником. Полученная формула спра-ведлива и для произвольного направления вектора .

Вычислим работу по перемещению замкнутого контура с постоянным током в магнитном поле. Предположим, что контур М перемещается в плоскости чертежа и в результате бесконечно малого перемещения займет положение М', изображенное на рис. 180 штриховой линией. Направление тока в контуре (по часовой стрелке) и магнитного поля (перпендикулярно плоскости чертежа — за чертеж) указано на рисунке. Контур М мысленно разобьем на два соединенных своими концами проводника: ABC и CDА.

(рис. 180)

Работа dA, совершаемая силами Ампера при рассматриваемом перемещении контура в магнитном поле, равна алгебраической сумме работ по перемещению проводников ABC ( ) и CDA ( ), т. е.

(2)

Силы, приложенные к участку CDA контура, образуют с направлением перемещения острые углы, поэтому совершаемая ими работа > 0. Согласно (1), эта работа равна произведению силы тока / в контуре на пересеченный проводником CDА магнитный поток. Проводник CD А пересекает при своем движении поток сквозь тонированную поверхность и поток , пронизывающий контур в его конечном положении. Следовательно, (3)

Силы, действующие на участок ABC контура, образуют с направлением перемещения тупые углы, поэтому совершаемая ими работа < 0. Проводник ABC пересекает при своем движении поток сквозь тонированную поверхность и поток , пронизывающий контур в начальном положении. Следовательно,

(4)

Подставляя (3) и (4) в (2), получим выражение для элементарной работы:

где — = ' — изменение магнитного потока сквозь площадь, ограниченную контуром с током.

Таким образом

(5)

Проинтегрировав выражение (5), определим работу, совершаемую силами Ампера, при конечном произвольном перемещении контура в магнитном поле: (6)

т.е. работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром. Формула (6) остается справедливой для контура любой формы в произвольном магнитном поле

Электрический ток, текущий в замкнутом контуре, создает вокруг себя магнитное поле, индукция которого, по закону Био —Савара — Лапласа, пропорциональна току. Сцепленный с контуром магнитный поток Ф поэтому пропорционален току в контуре: (1)

где L — коэффициент пропорциональности, называемый индуктивностью контура.

При изменении силы тока в контуре будет изменяться также и сцепленный с ним магнитный поток; следовательно, в контуре будет индуцироваться ЭДС. Возникновение ЭДС индукции в про-водящем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией.

Из выражения (126.1) определяется единица индуктивности генри (Гн): 1 Гн — индуктивность такого контура, магнитный поток самоиндукции которого при токе в 1 А равен 1 Вб:

1 Гн = 1 Вб/А = 1 В • с/А.

Рассчитаем индуктивность бесконечно длинного соленоида. Полный магнитный поток

сквозь соленоид (потокосцепление) равен Подставив это выражение в формулу (1), получим

(2)

т.е. индуктивность соленоида зависит от числа витков соленоида, его длины , площади и магнитной проницаемости 𝝁 вещества, из которого изготовлен сердечник соленоида. Можно показать, что индуктивность контура в общем случае зависит только от геометрической формы контура, его размеров и магнитной проницаемости той среды, в которой он находится. В этом смысле индуктивность контура — аналог электрической емкости уединенного проводника, которая также зависит только от формы проводника, его размеров в диэлектрической про-ницаемости среды. Контур, обладая определенной индуктивностью, приобретает электрическую инертность, заключающуюся в том, что любое изменение тока тормозится тем сильнее, чем больше индук-тивность контура.

Проводник, по которому протекает электрический ток, создает в окружающем пространстве магнитное поле, причем магнитное поле появляется и исчезает вместе с появлением и исчезнове-нием тока.

Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Естественно предположить, что энергия магнитного поля равна работе, которая затрачивается током на создание этого поля.

Рассмотрим контур индуктивностью L, по которому течет ток I. С данным контуром сцеплен магнитный поток , причем при изменении тока на dI магнитный поток изменяется на . Однако для изменения магнитного потока на величину необходимо совершить работу . Тогда работа по созданию магнитного потока будет

Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром, (1)

Исследование свойств переменных магнитных полей, в частности распространения электромагнитных волн, явилось доказательством того, что энергия магнитного поля локализована в пространстве. Это соответствует представлениям теории поля. Энергию магнитного поля можно представить как функцию величин, характеризующих это поле в окружающем пространстве. Для этого рассмотрим частный случаи — однородное магнитное поле внутри длинного соленоида.

Поскольку

(2)

Где объем соленоида.

Магнитное поле соленоида однородно и сосредоточено внутри него, поэтому энергия заключена в объеме соленоида и распределена в нем с постоянной объемной плотностью

(3)

Формула (130.3) выведена для однородного поля, но она справедлива и для неоднородных по-лей. Выражение (130.3) справедливо только для сред, для которых зависимость B от H линейная, т.е. оно относится только к пара- и диамагнетикам.