2. Одной из важнейших характеристик случайных величин является вероятнейшее значение измеренной величины и оценка его точности.

Для того, что бы уменьшить влияние случайной ошибки, производится

некоторое количество n измерений навигационного параметра a.

Предположим, что все наблюдения производились одним наблюдателем, в одинаковых условиях, одним прибором, настройка которого не менялась в процессе наблюдений, такие наблюдения принято называть равноточными или равновесными.

В результате таких наблюдений мы получим n близких к истинному a_ист значений а₁, a₂...a_n, каждое из которых содержит некоторую ошибку. Так как a_ист нам не известно, то и точное значение этих ошибок нам так же неизвестно.

Очевидно, что наиболее близким т.е. вероятнейшим значением a_вер к истинному значению a_ист будет среднее арифметическое ряда равновесных измерений свободных от систематических ошибок:

( 0 )

Необходимо понимать, что формула (8) соответствует фактической мере точности измерений h. Поэтому, если, например, измерения выполняют линейкой разбитой на миллиметры, то ни увеличением числа измерений, ни увеличением числа знаков при вычислениях, ни колдовством нельзя получить результат с точностью, скажем, до 0,01 мм.

Мы уже говорили о том, что каждое из измерений содержало ошибку. Критерием точности единичного измерения на практике чаще всего применяют среднюю квадратичную погрешность m, вычисляемую по формуле

( 0 )

где, v_i уклонения отдельных измерений a_i от a_вер: v_i= a_вер – a_i, соответственно [vv] – сумма квадратов отклонений.

В случае, когда истинное значение параметра a_ист известно, СКП рассчитывается по формуле:

( 0 )

где, x_i ошибки отдельных измерений a_i: x_i= a_ист – a_i, соответственно [xx] – сумма квадратов ошибок.

Критерий точности единичного измерения СКП m даёт нам вероятность случайной ошибки x в границах от –m до m примерно 68.3%.

Н

( 0 )

а практике так же часто применяется величина:

m_пред=3m

называемая предельной ошибкой одного измерения, накрывающая ошибки измерений с вероятностью 99.7%. Измерение у которых уклонения v превышают m_пред, объявляются промахами и из обработки исключаются.

Способ определения СКП одного (любого) измерения по формулам (9), (10) называется методом внутренней сходимости.

Д

( 0 )

ругой способ, называемый методом размаха, позволяет находить СКП значительно проще, хотя и с меньшей точностью:

m = k_nR,

где R – размах, т.е. разность между максимальным и минимальным значением измеряемой величины

R=a_max – a_min

k_n – коэффициент, который зависит от числа измерений в серии, его значения приводятся в таблице 2.

Таблица 2.

n	5	6	7	8	9	10	11
kn	0.430	0.395	0.370	0.351	0.337	0.325	0.315

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что средняя квадратичная погрешность характеризует точность отдельного измерения, в дальнейшую же обработку должна идти величина характеризующая точность вероятнейшего значения a_вер.

С

( 0 )

КП вероятнейшего значения измеряемой величины m₀ рассчитывается по формуле:

( 0 )

m_0пред=3m₀

Из формулы (13) видно, что с увеличением числа измерений в n раз значение СКП вероятнейшего значения m₀ уменьшается лишь в раз, поэтому нет смысла для повышения точности вероятнейшего значения чрезмерно увеличивать число наблюдений. Следует повышать качество самих измерений. Оптимальное число измерений 7-9, хотя это и не всегда удаётся.

Разберём всё вышесказанное на примере.

Пример

Получена серия из 9 измерений секстаном горизонтального угла.

ОС 36°18,7′ 36°18,3′ 36°16,8′ 36°19,4′ 36°17,6′ 36°18,2′ 36°19,7′ 36°16,0′ 36°16,9′

Рассчитать:

• вероятнейшее значение горизонтального угла;

• СКП одного (любого) измерения двумя способами;

• предельную погрешность одного измерения;

• СКП вероятнейшего значения;

• предельную погрешность вероятнейшего значения

  1. Составляем расчётную таблицу, в первой колонке которой серия измерений, во второй уклонения, в третьей квадраты уклонений.

В первой колонке рассчитываем вероятнейшее значение горизонтального угла, в последней сумму квадратов уклонений.

OC		v	v v
36°	18.7′	0.7	0.49
36	18.3	0.3	0.09
36	16.8	-1.2	1.34
36	19.4	1.4	1.96
36	17.6	-0.4	0.16
36	18.2	0.2	0.04
36	19.7	1.7	2.89
36	16.0	-2.0	4.00
36	16.9	-1.1	1.21
OCср 36°18.0′		0,0	[vv]12.18

2. Рассчитываем СКП и предельную погрешность одного измерения:

методом внутренней сходимости по формуле (9):

m_пред = 3m = 3.6′

методом размаха:

ОС_max =36°19,7′

ОС_min =36°16,8′

R = 2,9′

k_n = 0.337

m = k_nR = ±1,1′

3. Рассчитываем СКП и предельную погрешность вероятнейшего значения по формулам (13), (14):

m_0пред= 3*0,4′ = ±1,2′

Контролем результата служит равенство нулю суммы отклонений v.

Все задания выполнены.