- •2. Основные научные результаты, составившие базу Синергетики
- •Глава 1. Три языка Синергетики
- •1. Выделение объекта исследования. Создание его мысленного образа
- •2. Использование трёх языков Синергетики
- •3. Проведение лингвистического анализа
- •4. Предварительная классификация процесса или объекта. Включение процесса (объекта) в систему квант‑волна
- •5. Словесная история объекта
- •Глава 2. Параметр целого
- •1. Выбор основной меры, характеризующей объект (параметра целого)
- •2. Простейшая форма математического описания объекта. Рождение и разрушение объекта
- •3. Эмпирический анализ двумерного фазового пространства, описываемого выбранным параметром целого и скоростью его изменения или некоторым итерационным процессом
- •4. Разработка одномерной математической модели динамики объекта в рамках выбранного параметра целого
- •5. Качественный анализ и численное решение одномерной математической модели динамики объекта
- •Глава 3. Фазовое пространство динамической системы
- •2. Выделение странных аттракторов. Количественный и качественный анализ поведения системы, находящейся в области странного аттрактора. Изучение эргодических свойств исследуемой системы
- •Глава 4. Анализ поля системы
- •1. Классификация волн, вихрей, грибовидных (мультипольных) структур и транспортно‑информационных систем
- •2. Вихре‑волновой резонанс
- •Глава 5. Бифуркационные процессы
- •1. Определение бифуркационного события и графа структур и событий
- •2. Вектор вероятности бифуркационного события с конечным числом исходов
- •3. Случайные величины и их связь с параметром целого. Комплексный волновой вектор
- •4. Энтропия будущего и информация о прошлом бифуркационного события
- •5. Граф структур и событий. Бифуркационная координата. Переходные матрицы и дифференциальные уравнения
- •Граф с бесконечной памятью
- •Граф системы с конечным числом состояний
- •Глава 6. Транспортно‑информационные системы
- •1. Переход от одной системы или структуры к совокупности систем или структур. Статистические закономерности
- •2. Триадная методология. Структура – Поле – Контроллер
- •3. Триадный анализ структуры
- •4. Триадный анализ контроллера
- •5. Триадный анализ поля
- •Заключение. Бифуркация – Информация – Знание
- •Литература
Глава 3. Фазовое пространство динамической системы
1. Выбор основных координат, характеризующих систему, поведение которой близко к детерминированному, и качественный анализ фазового пространства, описывающего такую систему. Аттракторы системы и возможные бифуркации её фазового пространства
Однако анализа динамики одного, хотя и удачно выбранного, параметра целого чаще всего бывает недостаточно для полного исследования поведения сложной системы, особенно в тех случаях, когда выбранный параметр принимает устойчивое стационарное значение. Система существует и активно функционирует при постоянном значении параметра целого. В этом, случае можно ввести некоторые обобщённые координаты, изменение которых более подробно характеризуют динамику системы. При этом исследуемый объект может быть описан как динамическая система в некотором фазовом пространстве обобщённых координат.
Величина Xi,i=1,…, n, описывает изменение i‑й координаты. X, может включать несколько переменных, характеризующих действие этой координаты, а возможно, и целого континуума. Эти координаты собраны в вектор состояния Х(Х1, Х2, …).
Состояние изучаемого объекта в данный момент времени может быть задано точкой в некотором множестве X, в частности в n‑мерном многообразии, В этом случае изучаемому объекту соответствует некоторая n‑мерная динамическая система, а множество всех точек, соответствующих различным состояниям, называется n‑мерным фазовым пространством. Совокупность состояний данной системы в различные моменты времени формирует одномерное пространство (линию), называемую фазовой траекторией системы. Если фазовое пространство системы – n‑мерное гладкое многообразие, то фазовая траектория системы гладкая кривая (за исключением некоторых особых точек) и для её описания (а также для описания пучка траекторий, начинающихся из различных точек фазового пространства) может быть использован аппарат системы дифференциальных уравнений dX/dt = f(X,t). Здесь dX/dt – производная вектора X по времени.
Пусть мы имеем какое‑либо решение системы дифференциальных уравнений в виде Х(t) = Ф(Х0, t), где Х(t) – значения координат фазовой траектории, проходящей через точку Х0 в момент времени t0. В принципе, эта система уравнений может быть разрешена относительно t: t = Ф‑1(Х, Х0).
Предположим, что мы знаем состояние динамической системы в момент Tn, соответствующее точке Хn, и хотим определить состояние той же системы Xn+1 в момент Tn+1. Тогда, воспользовавшись предыдущими формулами, получим Xn+1= Ф(Х0, Тn+1) = Ф(Х0,Tn + (ΔT)n) = Ф{X0, [Ф‑1(X0, Хn) + (ΔTn]}.
Введем понятие оператора F, определяющего изменение системы Х во времени: Хn+1 = F(Xn). Оператор F порождает итерационный процесс и указывает преобразование состояния динамической системы Хn в момент времени Tn в её состояние Хn+1 в момент времени Tn+1.
В принципе, оператор F может быть введён в более общем случае, когда непрерывная зависимость от времени либо отсутствует вовсе, либо не может быть определена.
Основной идеей Г. Хакена, являющейся одной из основополагающих в Синергетике, является идея выделения среди обобщенных координат сложной системы нескольких наименее устойчивых мод, названных им главными модами или параметрами порядка, неустойчивость которых приводит к качественному изменению состояния всей системы, и таких координат, которые сами мало изменяются, однако которых изменяет характер устойчивости состояния основных мод. Они были названы управляющими параметрами.
Теория нелинейных динамических систем в настоящее время интенсивно развивается. Предложены различные формы классификации систем и их математических моделей. Введена терминология, которая активно внедряется в практику теоретических и экспериментальных исследований. Понятия фазового пространства, стационарной точки, цикла, тора, аттрактора, бифуркации, сепаратрисы уже давно вошли в обиход тех, кто использует результаты качественного анализа и расчётов параметров модельных динамических систем для исследования реальных явлений.