Температурная зависимость электропроводности

Исходя из выражения (1) с учетом закона Ома, можем записать:

, (16)

где проводимость материала:

. (17)

Согласно (17), в кристаллах зависимость может быть обусловленна зависимостью и . Для металлов = const,

т. е. . Для полупроводников:

. (18)

Идеальная кристаллическая решетки при Т=0 не рассеивает электронов, вследствие чего электрический ток в таком кристалле не затухает. Любое нарушение периодичности кристалла будет изменять квазиимпульс электрона и сопротивления кристалла протеканию электрического тока. В реальных кристаллах имеются: динамические несовершенства, обусловленные тепловыми колебаниями атомов решетки (фононы), статические несовершенства (точечные дефекты, примесные атомы, дислокации, трещины, полости, включения другой фазы, границы кристалла). Между рассеянием носителей в полупроводниках и металлах нет существенной разницы.

Из приближения сильной связи зонной теории известно, что положение и размер зон энергии зависят от расстояния между соседними атомами, т. е. механические напряжения, обусловленные тепловыми колебаниями атомов в узле кристаллической решетки, будет влиять на зонную структуру. Расстояния между атомами изменяются при продольных акустических волнах, которые сжимают и растягивают кристалл. Это микроизменение объема кристалла вызывает в свою очередь волнообразное изменение дна зоны проводимости и потолка валентной зоны (рис. 4). На флуктуациях потенциала атомов и рассеиваются электроны.

Р и с. 4. Схема измения энергии при прохождении через кристалл

продольных звуковых колебаний

При рассеянии носителей заряда в кристаллах на акустических колебаних атомов решетки (фононах) подвижность задается формулой:

. (19)

При рассеянии на заряженных атомах примеси электрон движется в электрическом поле положительного (или отрицательного) иона и отклоняется этим полем. Энергия взаимодействия определяется законом Кулона:

(20)

или с учетом экранирования центра свободными носителями заряда:

, (21)

где – радиус экранирования, пределяющий область действия поля центра.

Теория дает следующую зависимость подвижности от температуры при рассеянии на заряженных примесях:

, (22)

где – концентрация примеси.

С ростом концентрации примеси подвижность уменьшается. В зависимости от интервала температур, выбранной на температурной шкале, будет преобладать тот или другой механизм рассеяния. В первом приближении можно считать, что обратное значение подвижности при рассеянии на полях ионов и акустических фононов складываются аддитивно

. (23)

На рис. 5 приведены теоретически рассчитанные зависимости подвижности от температуры для различных механизмов рассеяния:

1 – на полях примеси, 2 – на акустических фононах, 3 – одновременно работают два механизма рассеяния.

Р и с. 5

Для полупроводников концентрации электронов в зоне прово­димости можно представить в виде формулы (13). Подставив в эту формулу явный вид функции g(E), получим

, (24)

где величина

. (25)

Интегралы Ферми точно не вычисляются, но имеются асимптотические выражения

. (26)

Следовательно

(27)

Формула (27) имеет наглядный физический смысл: экспоненциальный множитель соответствует функции распределения электронов по состояниям, взятым в точке , величина представляет собой фиктивное число состояний в зоне проводимости, приведенной к уровню энергии .

Для полупроводников n-типа проводимость определяется выражением

. (28)

где и – концентрации электронов и дырок в металле n-типа

Так как зависимость концентрации от температуры имеет экспоненциальный характер, а подвижность имеет степенную зависимость, удельное сопротивление собственного полупроводника будет иметь экспоненциальную зависимость от температуры

. (29)

Экспериментально полученная зависимость сопротивления чистых металлов от температуры (T > 273К) выглядит следующим образом

. (30)

где ,  коэффициенты, характерные для данного металла, – сопротивление проводника при 0 ^oС, – температура в градусах Цельсия.

Для температурной зависимости сопротивление металлов также получается приближенной формулой

, (31)

, (32)

где величины и – экспериментально измеренные температуры, а , – сопротивления образца при этих температурах. В этом случае принимается, что величина термического сопротивления

(33)

постоянная, а точнее, меняется очень мало.