1.10. Вычисление функций от матриц
1.10.1. Определения функции от матрицы.
Определение 1. Приведем некоторые примеры формул, по которым ведется вычисление основных функций на ЭВМ:
(4.1)
(4.2)
,
(4.3)
где x – аргумент функции.
Аналогично можно задать функции от матриц:
(4.4)
(4.5)
, (4.6)
где
– матрица (аргумент функции).
Определение
2.
В большинстве случаев, за редким
исключением, квадратная матрица
-го
порядка может быть представлена в виде
произведения:
,
где
,
(4.7)
– собственные
числа матрицы
;
– матрица, столбцы которой являются
соответствующими собственными векторами.
Из разложения (4.7) следует:
;
;
…
,
(4.8)
где
.
(4.9)
Подставив
в формулы (4.4)-(4.6), получим:
;
(4.10)
;
(4.11)
,
(4.12)
где
;
;
.
(4.13)
Данные преобразования позволяют записать общую формулу для определения функций от матрицы, которая существенно упрощает процесс вычисления:
,
(4.14)
где
;
(4.15)
– собственные числа матрицы , – матрица, столбцы которой являются соответствующими собственными векторами матрицы , n – порядок квадратной матрицы .
Замечание 1. Самый общий случай представления квадратной матрицы в виде произведения также имеет вид жорданова разложения
(4.16)
но при этом матрица
Жордана
имеет квазидиагональный вид:
,
;
,
где
– жорданова клетка; матрица
состоит из столбцов, часть которых
является собственными векторами, а
часть присоединенными (или корневыми)
векторами, при этом
, (4.17)
где
;
(4.18)
,
(4.19)
– порядок k-ой
жордановой клетки.
Более подробно данный вопрос рассматривается в специальной литературе по линейной алгебре.
Дополнительный вид определения функции от матрицы. В случае, если порядки всех жордановых клетки равны единице тогда:
,
где
;
(4.20)
– собственный
вектор матрицы
,
т.е.
,
(4.21)
где
– собственное число; при соответствующей
нормировке
.
(4.22)
Очевидно, что матрица Жордана представима в виде разложения
.
(4.23)
Матрица
имеет вид:
,
(4.24)
где
– k-я
вектор-строка матрицы
.
Тогда матрица может быть представлена следующим образом:
,
(4.25)
где
(4.26)
– оператор проектирования представимый в виде
.
(4.27)
Покажем, что
.
(4.28)
Вследствие (4.26) имеем:
.
Произведение
является результатом умножения k-ой
строки матрицы
на k-й
столбец матрицы
.
В тоже время, как известно,
.
Следовательно,
,
что доказывает формулу (4.28).
Соответственно функция от матрицы будет иметь вид:
(4.29)
В частности, справедливы формулы:
;
;
.
(4.30)
Такая запись применяется, к примеру, для получения общего решения задачи динамики.
Замечание 2. Функции от матриц являются необходимым средством решения систем дифференциальных уравнений.