Интеграл
(1.3.19)
удовлетворяет
условиям для скалярного произведения,
а система функций
ортонормальна с весом
,
если
.
При этом базисные функции претерпевают
лишь незначительные изменения:
, (1.3.20)
где
ортонормальны в обычном смысле, а
- с весом
.
1.3.3. Примеры полных ортонормальных функций
Приведем
несколько примеров ортонормальных
систем функций, используемых для
представления сигналов с заданными
областью определения
и весовой функцией
.
1. Комплексные гармонические функции
Для
комплексных гармонических функций
и
,
функции уже ортогональны (указать на
пример, где будет искаться взаимный
базис), следовательно, для получения
ортонормальной системы их нужно
нормировать, то есть поделить на норму
соответствующей функции ряда. Найдем
эту норму
.
Представление сигнала с помощью ???
, (1.3.21)
где
это
представление рядом Фурье функций,
которые ограниченны на отрезке
или периодические с периодом, равным
2. Однако это представление применимо
для функций, заданных на любом конечном
интервале, который можно привести к
интервалу
выбором подходящего масштаба по оси
времени.
Рассмотрим пример. Пусть требуется с помощью гармонических функций представить сигнал, приведенный на рис.
Задан
трапецевидный сигнал
на интервале
(рис. 1):
Необходимо представить его рядом комплексных гармонических функций, то есть в виде
.
Комплексные
гармонические функции
определены на интервале
,
следовательно, и исходный сигнал должен
быть задан на этом же интервале. Для
этого подвергнем его сжатию в
раза, а затем произведем сдвиг на
влево. Новый сигнал будет описываться
формулой
.
Коэффициенты разложения найдем по формуле
.
Затем переходим к исходному масштабу и получаем аппроксимированный исходный сигнал. Графики для различных приведены на рис. 2.
2. Полиномы Лежандра
Для
и
можно получить другую ортонормальную
систему, применив процедуру Грама-Шмидта
к последовательности
(указать, где мы это сделали). В результате
получаются нормированные полиномы:
(1.3.22)
где
- полиномы Лежандра. Эти полиномы можно
также считать по формуле
(1.3.23)
или по рекуррентной формуле
. (1.3.24)
Полином
имеет
нулей, все они вещественны и находятся
в интервале
.
Разложим рассмотренный выше сигнал. Коэффициенты разложения найдем по формуле
.
Аппроксимированный сигнал представлен на рис.
3. Полиномы Чебышева
Для
и
полиномы
(1.3.25)
где
- полиномы Чебышева образуют ортонормальную
систему.
Для
удовлетворяют рекуррентной формуле
. (1.3.26)
Свойство
полиномов
Чебышева: из всех полиномов
-ой
степени, имеющих коэффициент при
,
равный 1,
на интервале
наименее отклоняются от нуля.
Без весовой функции
.
С весовой функции
.
4. Функции Лагерра
Для
и
полиномы
(1.3.27)
образуют
ортонормальную систему. Здесь
- полиномы Лагерра, задаваемые формулой
. (1.3.27)
Они
имеют
вещественных нулей на
и удовлетворяют рекуррентному соотношению
. (1.3.28)
Функции Лагерра имеют единичный вес и ортонормальны на
.
Они также могут
быть получены применением процедуры
Грама-Шмидта к последовательности
.
Функции Лагерра могут быть реализованы
практически как импульсные реакции
сравнительно простых физических цепей
конечного порядка. Для этого их записывают
как
. (1.3.29)
Функции
имеют
преобразование Лапласа вида
, (1.3.30)
откуда
видно, что
-ая
функция Лагерра - это импульсная реакция
цепи, один каскад которой имеет
передаточную функцию
,
а
последующих одинаковы с функцией
,
т. е. это фазовращатели, не изменяющик
энергию сигнала. Это так называемый
«трансверсальный» фильтр, импульсная
реакция которого есть произвольная
линейная комбинация функций Лaгерра.
5. Функции Лежандра
Подстановка
преобразует интервал
для величины
в интервал
для величины
,
поэтому из полиномов Лежандра можно
получить еще одну систему функций,
ортонормальных на
(
- произвольный дествительный положительный
параметр). Функции Лежандра
. (1.3.31)
Образуют
ортонормальную систему на
с единичным весом. Преобразования
Лапласа от этих функций имеют полюсы
при
6. Функции Чебышева
Преобразованием Чебышева получаем функции
, (1.3.32)
которые
ортонормальны с весом
на
.
Полюсы преобразования Лапласа получаются
при
