§2. Пределы.

Последовательность.

Множество чисел, пронумерованных с помощью натуральных чисел: называется последовательностью. Её можно определить также и как функцию .

Графиком будет не кривая, а дискретный набор точек, потому что только над каждой точкой с абсциссой, равной натуральному числу, есть точка графика.

Например, - последовательность.

Арифметическая и геометрическая прогрессии тоже частный случай последовательности.

Пример: геометрическая прогрессия

В рассмотренных примерах видно, что при возрастании номера элемент убывает к 0. Однако при этом само число 0 не достигается ни при каком номере. То есть, числа 0 в этой последовательности нет. Однако, все элементы уменьшаются и приближаются к 0. В связи с этим возникает определение предела последовательности:

Определение. Число называется пределом последовательности , если: , такое, что выполняется: .

(для любого числа эпсилон больше нуля, существует такой номер элемента последовательности, что для всех последующих номеров отклонение элементов от числа А меньше, чем эпсилон). В этом случае говорится, что последовательность стремится к числу А.

Обозначение предела: . (lim это от английского слова limit которое хорошо известно и в русском языке - лимиты потребления света, воды и т.д. ).

Если рассмотреть полосу от до по высоте, то начиная с какого-то номера, все последующие точки будут попадать в эту полосу:

Чем меньше число (погрешность меньше) тем больший номер требуется .

Пример. . По определению: если например требуемая точность то , выполняется: разность элемента и 0 менее 1/100, то есть 1/101 затем 1/102 и т.д.

* Для того, чтобы лучше понять, что такое предел, представьте следующее. Машина приближается к городу. Для любого заранее заданного расстояния (например = 10 км.) существует такой момент времени , что в последующие моменты времени расстояние будет меньше, чем . Это как раз и означает «стремится к 0», то есть расстояние уменьшается к 0. Если задать = 5 км. то это достигается в более поздний момент времени, а если = 1 км. то ещё позже.

Предел может и не существовать. Для последовательности , например, предел не существует. Здесь не происходит стабилизация значений, то есть их колебания по высоте всегда 1. После каждого номера, найдётся последующий элемент, который удаляется на расстояние 1 от предыдущего, то есть эти колебания не могут быть меньше заранее заданного малого числа .

Рассмотрим последовательность

Вычислим предел. = = . Второе слагаемое в знаменателе стремится к 0. В итоге, , =1.

Таким же методом можно сокращать старшие степени и в других случаях, для произвольных степеней.

= = .

В общем случае, когда степени разные: = .

Пример. Вычислить предел

Решение. Здесь неопределённость типа . Сократим на :

= = .

Пример. Вычислить предел .

Комментарий. В выражениях с неопределённостью типа ответ не виден из самого выражения. Так, если 2 объекта от нас удаляются в бесконечность, то при этом расстояние между ними может уменьшаться, может стабилизироваться на каком-то уровне, а может возрастать. Например, для оба слагаемых стремятся к бесконечности, но и разность между ними тоже увеличивается неограниченно. А в разности оба слагаемых увеличиваются, но разность стабильна и равна 1. Поэтому при решении таких примеров снаала нужны преобразования, приводящие к виду дроби, а там уже можно сократить на какой-то множитель.

Итак, умножим на сопряжённое выражение, то есть на сумму, подобную этой разности. Тогда можно будет применить формулу сокращённого умножения, и корень исчезнет, так как он будет возведён в квадрат.

= = = =

В знаменателе содержится n и выражение, содержащее корень из 2 степени, которое по скорости роста сопоставимо с n. Сократим числитель и знаменатель на n.

= = = . Чтобы разделить корень, удобно факт деления на n представили как деление на корень из n², продолжим:

= = .

Вычислительный эксперимент. Чтобы луше понять понятие предела, можете вычислить выражение например, при n = 100, n = 1000 на калькуляторе. Чем больше n тем ближе к 0,5 ответ получится.

n = 100 результат 0,49876. Отклонение от 1/2 составило 0,00124.

n = 1000 результат 0,49988. Отклонение от 1/2 составило 0,00012.

Теорема 1. Пусть дано 3 последовательности, причём для любого номера n: . Если , .

Доказательство. Так как для первой и третьей последовательности предел равен А, то числа (начиная с какого-то номера) отклоняются от не больше чем на величину , то есть принадлежат интервалу . Но число находится между ними, тогда оно тоже принадлежит . Тогда по определению, для средней последовательности тоже существует предел.

Теорема 2. Если последовательность монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел.

Примеры нарушения одного из этих двух условий.

не ограничена, предел .

не монотонна. Пределом не может быть ни одно из чисел 0 или 1. Здесь после любого элемента, среди последующих есть какой-либо, удалённый от данного на расстояние 1, то есть в определении предела было бы не «для любого », а только для >1. Колебания по высоте не уменьшаются, все последующие элементы не впишутся в узкую полосу ширины .

Предел функции при .

Число называется пределом функции , при если:

, так, что выполняется: .

Объяснение: для любой заранее заданной погрешности существует такая константа М, что правее неё график отклоняется от ординаты А не более, чем на .

Аналогично определяется предел при для левой полуоси.

Пример. . Два различных предела при и . . Предел на правой полуоси равен , но при этом ни в одной точке функция не принимает это значение.

Пример. Найти .Вычисление проводится таким же методом, как в случае последовательности, где было . Сократим на , получим = .

Как видим, вычислять пределы для дробно-рациональных выражений можно тем же методом, что было для последовательностей. Как видим, эта ситуация сильно напоминает то, что было в случае пределов последовательностей, только там дискретная величина а здесь непрерывная, .

Предел функции в точке (при ).

Определение. Число называется пределом функции в точке , если: , такое, что при выполняется: .

(для любого числа эпсилон больше нуля, существует такое число дельта, так что если модуль разности меньше дельта, то модуль разности меньше, чем эпсилон).

Обозначение .

В случае существования предела, получается, что задавая погрешность можно найти такой интервал в области определения, что отклонение значений от А будет меньше чем . Фактически, часть графика впишется в некоторый прямоугольник, при уменьшении одной стороны будет уменьшаться и вторая.

У студентов может закономерно возникнуть вопрос, а для чего вообще нужно понятие предела в точке, и почему нельзя просто подставить и вычислить функцию. Проблема в том, что не всегда значение функции существует в точке. Иногда бывает так, что формально её вычислить нельзя. Например, для функции значение в точке =3 не существует. При вычислении на калькуляторе поочерёдно числителя и знаменателя, получили бы и калькуляторы, компьютеры выдали бы сообщение об ошибке. Но ведь в соседних точках значение функции есть. График функции подходит к некоторой точке в плоскости. Так вот, её ордината и равна этому пределу.

Пример. Вычислить предел .

В точке 3 значение функции не существует, однако во всех соседних точках существует, и можно узнать, к какой ординате стремится график при . Разложим на множители:

= = = 6.

Тот множитель, который отвечал за стремление к 0 в числителе и знаменателе, сокращён, поэтому далее удалось просто подставить 3 и получить ответ.

Как видим, методы разные: если неопределённость типа , то выделяем множители, чтобы сократить те множители, которые стремятся к 0. Если неопределённость , то корни искать не нужно, а нужно сократить на степенную функцию старшей степени. Для неопределённостей типа основным методом является разложение на множители, и сокращение тех множителей, которые ответственны за стремление к 0.

Пример функции, не имеющей предела в нуле. . Здесь при приближении к 0 бесконечное число колебаний, то есть, уменьшая область определения, например интервал , никак не удастся получить уменьшение области значений функции над этим интервалом, размах колебаний всё равно останется от -1 до 1. При подходе абсциссы к 0, функция здесь должна пройти бесконечное число колебаний амплитуды 2 (от -1 до 1).