Тема 2. Основные понятия теории вероятностей и статистики, применяемые в эконометрике

Аннотация. Данная тема раскрывает основные понятия теории вероятностей и статистики, применяемые в эконометрике.

Ключевые слова. Генеральная совокупность, выборка, статистическая оценка, гипотеза.

Методические рекомендации по изучению темы

• Тема содержит лекционную часть, где даются общие представления по теме.

• В качестве самостоятельной работы предлагается ознакомиться с решениями типовых задач, выполнить практические задания и ответить на вопросы для самоконтроля.

• Для проверки усвоения темы имеется тест для самоконтроля.

• Для подготовки к экзамену имеются контрольный тест и типовые задачи.

Рекомендуемые информационные ресурсы:

1. http://tulpar.kpfu.ru/mod/resource/view.php?id=382

2. Эконометрика: [Электронный ресурс] Учеб. пособие / А.И. Новиков. - 3-e изд., испр. и доп. - М.: ИНФРА-М, 2014. - 272 с.: (http://znanium.com/catalog.php?item=booksearch&code=%D1%8D%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0&page=1#none) С. 7-21.

3.Уткин, В. Б. Эконометрика [Электронный ресурс] : Учебник / В. Б. Уткин; Под ред. проф. В. Б. Уткина. - 2-е изд. - М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2012. - 564 с.

(http://znanium.com/catalog.php?item=booksearch&code=%D1%8D%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0&page=4#none) С.11-226.

4. Эконометрика. Практикум: [Электронный ресурс] Учебное пособие / С.А. Бородич. - М.: НИЦ ИНФРА-М; Мн.: Нов. знание, 2014. - 329 с. (http://znanium.com/catalog.php?item=booksearch&code=%D1%8D%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%B0&page=4#none) С.8-82.

Глоссарий

Вероятность события А – это отношение числа m элементарных событий (исходов), благоприятствующих появлению события А, к числу n всех элементарных событий в условиях данного вероятностного эксперимента.

Закон распределения случайной величины - это всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Плотность вероятности (плотность распределения вероятностей) непрерывной СВ Х - это производная ее функции распределения.

Случайная величина - это такая величина, которая в результате наблюдения (испытания) принимает то или иное значение, заранее не известное и зависящее от случайных обстоятельств.

Статистическая гипотеза - это любое предположение о виде закона распределения или о параметрах неизвестного закона распределения.

Статистический вывод – это заключение о генеральной совокупности на основе выборки, случайно отобранной из генеральной совокупности.

Функция распределения СВ Х - это функция , определяющая вероятность того, что СВ Х принимает значение меньшее, чем , т.е. < .

Вопросы для изучения

1. Основные понятия теории вероятностей. Нормальное распределение и связанные с ним χ² - распределение, распределение Стьюдента и Фишера.

2. Генеральная совокупность и выборка. Свойства статистических оценок.

3. Статистические выводы и проверка гипотез.

Основные понятия теории вероятностей. Нормальное распределение и связанные с ним χ2 - распределение, распределение Стьюдента и Фишера. Вероятностью события А – Р(А) – называется отношение числа m элементарных событий (исходов), благоприятствующих появлению события А, к числу n всех элементарных событий в условиях данного вероятностного эксперимента. Случайной величиной (СВ) называют величину, которая в результате наблюдения (испытания) принимает то или иное значение, заранее не известное и зависящее от случайных обстоятельств. Дискретной называют такую СВ, которая принимает отдельные, изолированные (конечные или счетные) значения с определенными вероятностями. Непрерывной называют такую СВ, которая может принимать любое значение из некоторого конечного или бесконечного числового промежутка (т.е. количество возможных значений непрерывной СВ бесконечно и несчетно). Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Его можно задать таблично, аналитически (т.е. в виде формулы) и графически. Для любой дискретной случайной величины . Функцией распределения СВ Х называют функцию , определяющую вероятность того, что СВ Х принимает значение меньшее, чем , т.е. < . Плотностью вероятности (плотностью распределения вероятностей) непрерывной СВ Х называются производная ее функции распределения:

Плотность вероятности f(x), как и функция распределения F(x), является одной из форм закона распределения и существует только для непрерывных случайных величин.

СВ Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности имеет вид:

. Очень важным частным случаем нормального распределения является ситуация, когда m = 0 и σ = 1. В этом случае говорят о стандартизированном (стандартном) нормальном распределении. Для практических расчетов специально разработаны таблицы функций f (u), F (u) стандартизированного нормального распределения, но чаще используется так называемая таблица значений Лапласа Ф (u). Функция Лапласа имеет вид: . Эту таблицу можно использовать для любой нормальной СВ Х ( Х ~ N (m, σ)) при расчете соответствующих вероятностей:

Заметим, что если Х ~ N (m, σ), то ~ N(0,1). СВ χ² имеет хи – квадрат распределение с n степенями свободы (χ² ~ χ_n²), если . Отметим, что число степеней свободы (это число обозначается v) исследуемой СВ определяется числом СВ, ее составляющих, уменьшенным на число линейных связей между ними. Пусть СВ U ~ N (0,1), СВ V – независимая от U величина, распределенная по закону χ² с n степенями свободы. Тогда величина имеет распределение Стьюдента (t – распределение) с n степенями свободы (T ~ T_n ). Пусть V и W – независимые СВ, распределенные по закону χ² со степенями свободы v₁ = m и v₂ = n соответственно. Тогда величина имеет распределение Фишера со степенями свободы v₁ = m и v₂ = n (F ~ F_m,n).

Генеральная совокупность и выборка. Свойства статистических оценок. Статистические выводы – это заключения о генеральной совокупности (т.е. законе распределения исследуемой СВ и его параметрах либо о наличии и силе связи между исследуемыми переменными) на основе выборки, случайно отобранной из генеральной совокупности. Процесс нахождения оценок по определенному правилу (формуле) называется оцениванием. В качестве оценок параметров распределения генеральной совокупности берутся их выборочные оценки. При этом различают 2 вида оценок: точечные, интервальные. Доверительный интервал для математического ожидания нормальной при известной дисперсии: _, . Доверительный интервал для математического ожидания нормальной СВ при неизвестной дисперсии: _. Доверительный интервал для дисперсии нормальной СВ: .

Оценка называется несмещенной оценкой параметра , если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру: В противном случае – оценка называется смещенной. Оценка называется эффективной оценкой параметра , если ее дисперсия меньше дисперсии любой другой альтернативной несмещенной оценки при фиксированном объеме выборки т.е. Оценка называется состоятельной оценкой параметра , если сходится по вероятности к оцениваемому параметру при ∞. Другими словами, состоятельной называется такая оценка, которая дает истинное значение при достаточно большом объеме выборки вне зависимости от значений входящих в нее конкретных наблюдений.

Статистические выводы и проверка гипотез. Статистической гипотезой называется любое предположение о виде закона распределения или о параметрах неизвестного закона распределения.