§2. Рациональные неравенства. Метод интервалов.

Неравенства (или уравнения) называются рациональными, если обе их части есть суммы отношений многочленов. Чтобы решить рациональное неравенство, нужно привести дроби к общему знаменателю, затем у полученной дроби разложить числитель и знаменатель на простейшие множители и применить метод интервалов. Разберем его с помощью примера.

Пример 3. Решите неравенство

а) ; б) .

Р



+

+



+

+

ешение. а) Отметим на числовой прямой жирными точками нули числителя, а пустыми кружочками – нули знаменателя (все числа, соответствующие жирным точкам, являются решениями неравенства и должны войти в ответ).

-8

-3

-2

1

4

Эти точки раздели прямую на шесть промежутков, причем на каждом из них знак левой части постоянен. Чтобы определить этот знак, поступим так: выберем из самого правого промежутка какую-либо точку (например, х=100) и определим знак левой части («+», так как каждая из скобок положительна). Далее движемся влево вдоль числовой прямой. При переходе через каждую точку знак меняется, если соответствующая скобка встречается в нечетной степени и сохраняется, если в четной. Нам подходят все промежутки со знаком минус. Важно также не потерять точку .

Ответ:

б) Решение отличается тем, что все точки на числовой прямой отмечаем пустыми кружочками: действительно, нули числителя также не являются решениями неравенства.

Ответ:

Пример 4. Решите неравенство .

Решение. Перенесём дроби в одну часть и разложим знаменатели на множители:

.

Приводим дроби к общему знаменателю:

.

Упрощаем числитель и раскладываем на множители

.

Р

-

+

-

+

-

ешаем неравенство методом интервалов

2

Ответ:

Пример 5. Решите неравенство .

Решение. Рассмотрим по очереди каждый из квадратных трёхчленов в скобках и попробуем разложить их на множители.

1. .

2. : отрицателен, следовательно, при всех .

3. .

4. : дискриминант отрицателен, коэффициент при положителен, поэтому при всех .

Квадратные трёхчлены, имеющие постоянный знак, отбрасываем. Поскольку один из них имел знак минус, а второй – знак плюс, меняем знак неравенства. Получаем

.

Р

+





+

ешая методом интервалов, находим:

-1

2

6

Ответ:

§3. Иррациональные уравнения.

Иррациональными называют уравнения, в которых неизвестное входит под знаком корня. Как правило, встречаются уравнения с квадратными корнями. Чтобы их решить, обычно поступают так: «уединяют» один из радикалов, после чего обе части возводят в квадрат (если было более одного радикала, то это процедуру приходится делать несколько раз). В итоге уравнение приводится к рациональному, которое далее решается.

Очень важно отметить, что возведение обеих частей уравнения в квадрат не является равносильным преобразованием. Действительно:

Поэтому при переходе от уравнения к уравнению мы можем приобрести лишние корни – решения уравнения . Чтобы мы могли гарантировать, что это не произойдёт, надо записать условие совпадения знаков левой и правой частей исходного уравнения.

Действительно,

Кроме того, при возведении уравнения в квадрат мы используем равенства

(2)

(3)

Заметим, что при переходе от левой части к правой меняется область допустимых значений выражения. Например, в (3) левая часть определена только при , тогда как правая часть может также существовать при Поскольку при таких переходах область определений расширяется, мы можем приобрести лишние корни. Чтобы этого не случилось, необходимо учитывать область допустимых значений исходного уравнения.

Отметим равносильные преобразования, используемые при решении уравнений:

(4)

(5)

В (4) условие обеспечивает совпадение знаков частей исходного уравнения. Условие , задающее область определения исходного уравнения, можно опустить, так как оно вытекает из уравнения

В (5) знаки левой и правой части исходного уравнения совпадают. Из двух неравенств , , задающих ОДЗ исходного уравнения, можно оставить любое одно условие (т.к.

Пример 6. Решите уравнение

Решение. Возводим обе части в квадрат (дополнительных условий не нужно: обе части неотрицательны).

.

Еще раз возводим в квадрат (не забываем условие обеспечивающее совпадение знаков левой и правой частей уравнения):

Учитывая неравенство , а также ОДЗ исходного неравенства , получаем, что является корнем, а – нет.

Ответ: .

Замечание: Вместо того, чтобы следить за равносильностью каждого шага, можно не записывать никакие условия-неравенства, а вместо этого подставить полученные значения переменной в исходное уравнение. Заметим, что мало посмотреть, входит ли корень в ОДЗ – надо убедиться, что при подстановке получается верное равенство.

В только что разобранном примере при исходное уравнение принимает вид:

,

– получается неверное равенство.

Пример 7. Решите уравнение:

(6)

Решение. Произведение нескольких множителей равно нулю в том и только в том случае, когда один из множителей равен нулю, а остальные множители имеют смысл. Поэтому.

Ответ:

Пример 8. Решите уравнение.

(7)

Решение. Сумма трёх неотрицательных чисел может обращаться в ноль только в одном случае: когда все числа равны нулю. Значит,

Ответ: .

Пример 9. Решите уравнение.

Решение. Двукратное возведение обеих частей в квадрат приведёт нас к уравнению четвёртой степени, решить которое затруднительно. В таком случае имеет смысл посмотреть на ОДЗ исходного неравенства. Она задаётся системой неравенств

Поскольку ОДЗ есть пустое множество, уравнение решений не имеет.

Ответ: нет решений

Пример 10. Решите уравнение

Решение. Перепишем уравнение в виде:

Напрашивается замена . Лучше заменить (убедитесь сами, что при первом способе вычисления сложнее). Тогда , . Подставляем:

Возвращаемся к переменной :

.

Ответ: .