Задача 8
Условие задачи: Построить проекции линии пересечения сферы радиусом 40 мм и центром O(55;60;75) с проецирующей плоскостью Σ, след которой задается точками A и B (приложение 6).
Общие указания: задачу необходимо выполнить на трёхкартинном чертеже простым карандашом на формате А3 в масштабе 1:1.
Пример решения: на рисунке 8.1 построены три проекции сферы и горизонтальный след Σ1 горизонтально проецирующей плоскости Σ (для вариантов, когда точки A, B заданы координатами x и y, по координате z — прочерк).
Плоскость (как любая другая плоскость) пересекает сферу по окружности, проекция которой на 1 отрезок [11;51], совпадающий со следом плоскости 1, проекции на 2 и 3 — эллипсы с осями [1;5] и [3;3]. Точки 3131 — середина отрезка [11;51], недостающие проекции которых построены с помощью окружностей на сфере, параллельных соответствующим плоскостям проекций (параллелей).
Промежуточные точки 2 и 2 принадлежат границе видимости сферы на 2, точки 4 и 4 — границе видимости сферы на 3. Фронтальная проекция линии пересечения построена с учетом видимости: от точки 1 до точек 2 и 2 линия видна, к точке 5 не видна. Линия пересечения на 3 видна от точки 1 до точек 4 и 4 , не видна к точке 5.
На рис. 8.1 для эллипсов — проекций окружности — построены только характерные точки, для более точного построения необходимо взять промежуточные: между точками 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 5 и построить их проекции на 2 и 3 с помощью параллелей сферы.
На рисунке 8.2 построены три проекции сферы и фронтальный след Σ2 фронтально проецирующей плоскости Σ (для вариантов, когда точки A, B заданы координатами x и z, по координате y — прочерк).
На рисунке 8.3 построены три проекции сферы и профильный след Σ3 профильно проецирующей плоскости Σ (для вариантов, когда точки A, B заданы координатами y и z, по координате x — прочерк).
Задача 9
Условие задачи: Построить точки пересечения прямой (A,B) с поверхностью наклонного цилиндра с круговыми основаниями, одно из которых принадлежит горизонтальной плоскости проекций 1. Определить видимость прямой (A,B) относительно поверхности цилиндра (приложение 7).
Общие указания: задачу необходимо выполнить на двухкартинном чертеже простым карандашом на половине формата А3 в масштабе 1:1 совместно с задачей 10 (см. ниже), которую располагают на другой половине формата А3.
Пример решения: на рисунке 9.1 построены проекции прямой и цилиндра. Очерковые цилиндра на 1 построены с помощью вспомогательных отрезков, проходящих через проекции центров окружностей основания и перпендикулярных оси цилиндра. Половина окружности нижнего основания не видна на 1.
Задача решается по следующему алгоритму:
— через прямую (A,B) проводят вспомогательную проецирующую плоскость . На рис. 9.2 плоскость — фронтально проецирующая (2 (A2,B2));
— плоскость пересекает цилиндр по эллипсу, проекция которого на 2 отрезок [12;42], совпадающий со следом вспомогательной плоскости 2: точка 1 принадлежит очерковой образующей, проходящей через точку 5 основания, точка 4 — очерковой образующей, проходящей через точку 8 основания (рис. 9.3). Промежуточные точки 2 и 3 тоже являются характерными. Они принадлежат очерковым образующим цилиндра на 1, проходящим через точки 6 и 7 основания. Горизонтальная проекция эллипса построена с учетом видимости: от точки 1 до точек 2 и 3 видна, к точке 4 — нет. На рис. 9.3 для эллипса построены только характерные точки, для более точного построения необходимо взять промежуточные: между точками 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, и построить их проекции на 1 с помощью образующих цилиндра;
— точки пересечения K, M прямой (A,B) с эллипсом (рис. 9.4) есть искомые точки пересечения с цилиндром. Точка K принадлежит видимой на 1 части цилиндра, точка M — не видимой на 1 части цилиндра.
Если точка пересечения видна на данной плоскости проекций, то прямая тоже видна и наоборот. Поверхность цилиндра непрозрачна, поэтому между точками пересечения прямая не видна. Точка M на 2 видна (принадлежит видимой на 2 образующей), поэтому видна и проекция прямой (A,B) правее точки M2.. Точка K на 2 не видна, поэтому не видна и проекция прямой (A,B) левее точки K2, пока прямая не вышла из за очерка цилиндра.
Решение задачи 9 выше предложенным способом является не точным, но общим для всех остальных поверхностей, когда необходимо найти точки пересечения прямой с данной поверхностью. Если в пересечении участвует цилиндр, то для точного нахождения точек пересечения вспомогательную секущую плоскость проводят не проецирующую, а параллельную образующим цилиндра. Тогда в пересечении с цилиндром получают прямолинейные образующие, а не кривые линии. Подробно смотри в любой учебной литературе по начертательной геометрии [1], [3].