3.5. Вычисление перемещений в статически неопределимой раме

В рассчитываемой раме требуется определить угол поворота ₁ сечения 1 ( см. рис. 3.1 ) и горизонтальное перемещение u_K точки K отдельно от постоянной нагрузки (const), изменения температуры ( temp. 2 ) и смещений связей ( temp. 3 ).

Поскольку усилия в СНС от всех указанных воздействий разных видов ( силового, температурного и кинематического ) уже найдены расчётом рамы методом сил, из возможных вариантов определения перемещений методом Максвелла – Мора ( см. п.п. 2.1, 2.2 и 2.3 ) рациональным является тот, в котором используется вспомогательная статически определимая система, рассчитываемая на единичное воздействие F_i = 1 или M_i = 1 по направлению искомого перемещения. Используем формулы ( 2.2 ), ( 2.5 ) и ( 2.7 ). Напоминаем, что в них S_F , S_t , S_c ( т.е. M_F , M_t , M_c и др.) – усилия в рассчитываемой статически неопределимой системе от соответствующих видов заданных воздействий

(см. разъяснения и сноску на с. 39). В решаемой задаче , , .

Следуем рекомендациям по выбору вспомогательных статически определимых систем ( см. с. 41 ), возможно, различных для разных искомых перемещений и обеспечивающих простое вычисление усилий и их локализацию на наименьшем числе не-

н

лько возможных вариантов

вспомогательных СОС, в том числе система, которая

была признана рациональной основной системой в выполненном выше расчёте рамы методом сил ( рис.

3.24, б ). Согласно рекомен-

дациям, желательно, чтобы единичное воздействие ( в

улевых расчётных участков. На рис. 3.24 представлено неско-

а) б)

в) г)

Рис. 3.24

рассматриваемой задаче –

М = 1 в сечении 1 или F = 1 в верхнем узле K ) было бы приложено к главной части ВСОС. Следовательно, главной должна быть левая часть рамы – это имеет место в схемах на рис. 3.24, в и г. Но систему по рис. 3.24, в рассчитывать сложнее – это трёхшарнирная рама с двумя ломаными стержнями. Поэтому в качестве вспомогательной выбирается система, показанная на рис. 3.24, г. Её удобно использовать при определении обоих перемещений – и углового ₁ , и линейного u_K .

На рис. 3.25, а, в изображены два единичных ( фиктивных ) состояния ВСОС и приведены единичные силовые факторы, необходимые для вычисления перемещений от всех видов воздействий.

Предварительно переименовав искомые перемещения ₁ и u_K в _1 и _2 ( здесь ), в случае силового воздействия представляем формулу ( 2.2 ) для данной рамы в следующем виде:

тогда

;

В выполненных выше вычислениях указаны единицы измерения величин, подставляемых в формулы, – для контроля единиц измерения результата. Далее для краткости это не делается.

Перемещения от изменения температуры определяем по формуле, получаемой из ( 2.5 ):

Перемещения от кинематического воздействия вычисляем на основании формулы ( 2.7 ), дающей в решаемом примере:

Для сравнения оценим трудоёмкость расчёта с использованием других вариантов вспомогательной СОС ( рис. 3.26, а, в ).

В обоих случаях получены эпюры более сложные, чем на рис. 3.25. Кроме того, дополнительно придётся учитывать реакцию упругой опоры. Заметим, что при использовании системы по рис. 3.26, в для расчёта на действие М = 1 получаются в точности такие же усилия, как на рис. 3.26, а, б.

Обратим внимание на то, что статически определимая система, рациональная в качестве основной системы метода сил ( рис. 3.26, а ), не является лучшей для определения перемещений.

В заключение напомним, что можно вычислять перемещения без применения вспомогательной СОС – по форму-лам ( 2.1 ), ( 2.4 ) и ( 2.6 ). Для этого необходимо рассчитать заданную СНС на единичные воздействия М = 1 и F = 1. Если это делать в матричной форме с использованием компьютера, то формально в матрице L_ добавляются 2 столбца усилий в ОСМС от фиктивных единичных «нагрузок». В результате находятся усилия в СНС от М = 1 и F = 1. Этот вариант целесообразен для определения перемещений от температурных и кинематических воздействий.

53