Решение
1. Построение линейного уравнения парной регрессии y на X.
Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу 1.
Таблица 1 – Расчетные данные
№ |
x |
y |
|
|
|
|
|
|
1 |
9 |
68 |
612 |
81 |
4624 |
71,08 |
9,4864 |
0,045 |
2 |
11 |
72 |
792 |
121 |
5184 |
77,968 |
35,617 |
0,083 |
3 |
12 |
93 |
1116 |
144 |
8649 |
81,412 |
134,282 |
0,125 |
4 |
14 |
98 |
1372 |
196 |
9604 |
88,3 |
94,09 |
0,1 |
5 |
16 |
87 |
1392 |
256 |
7569 |
98,188 |
67,043 |
0,09 |
6 |
16 |
92 |
1472 |
256 |
8464 |
98,188 |
10,163 |
0,035 |
7 |
18 |
99 |
1782 |
324 |
9801 |
102,076 |
9,462 |
0,031 |
8 |
19 |
111 |
2109 |
361 |
12321 |
105,52 |
30,03 |
0,049 |
9 |
20 |
100 |
2000 |
400 |
10000 |
108,964 |
80,353 |
0,09 |
10 |
23 |
125 |
2875 |
529 |
15625 |
119,296 |
32,536 |
0,046 |
Итого |
158 |
945 |
15522 |
2668 |
91841 |
944,992 |
503,062 |
0,694 |
Ср |
15,8 |
94,5 |
1552,2 |
266,8 |
9184,1 |
94,5 |
50,306 |
0,0694 |
σ |
4,142 |
15,933 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
|
17,16 |
253,85 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
По формулам находим параметры регрессии
где
– ковариация признаков x
и y;
—дисперсия
признака x
и
,
,
,
.
Ковариация – числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, равная математическому ожиданию произведения отклонений этих случайных величин от их математических ожиданий.
Дисперсия – характеристика случайной величины, определяемая как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Математическое ожидание – сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности.
Получено уравнение регрессии:
Параметр регрессии позволяет сделать вывод, что с увеличением затрат на производство на 1тыс. ед., выпуск продукции возрастает в среднем на 3,444 тыс. д. е.
После нахождения уравнения регрессии заполняем столбцы 7-10 таблицы 1.
2. Расчет линейного коэффициента парной корреляции и коэффициента детерминации.
Линейный коэффициент парной корреляции:
Т.к. значение коэффициента корреляции больше 0,7, то это говорит о весьма тесной линейной связи между признаками.
Коэффициент детерминации:
Это означает, что 79,9% вариации затрат на производство (у) объясняется вариацией фактора (х) – выпуска продукции.
3. Оценка модели через среднюю ошибку аппроксимации.
Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации.
Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:
Допустимый
предел значений
– не более 10%.
Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 10%.
4. Оценка статистической значимости уравнения регрессии в целом.
Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера.
Фактическое значение F-критерия по формуле составит:
Табличное
значение критерия при пятипроцентном
уровне значимости и степенях свободы
и
составляет
.
Так как
>
,
то уравнение регрессии признается
статистически значимым.
5. Оценка статистической значимость параметров регрессии и корреляции.
Оценку статистической значимости параметров регрессии и корреляции проведем с помощью t-статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из параметров.
Табличное
значение t-критерия
для числа степеней свободы
и уровня значимости
составит
.
Определим
стандартные ошибки
.
Остаточная дисперсия на одну степень свободы
;
;
;
Тогда
;
;
.
Фактические значения t-статистики превосходят табличное значение:
;
;
,
Поэтому
параметры a,
b,
не случайно отличаются от нуля, а
статистически значимы.
Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии a и b. Для этого определим предельную ошибку показателя:
;
.
Доверительные интервалы
и
и
.
Анализ
верхней и нижней границ доверительных
интервалов приводит к выводу о том, что
с вероятностью
параметры a
и b,
находясь в указанных границах, не
принимают нулевых значений, т.е. являются
статистически значимыми и существенно
отличны от нуля.
6. Прогноз затрат на производство при прогнозном вяыпуске продукции, составляющем 195% от среднего уровня.
Полученные
оценки уравнения регрессии позволяют
использовать его для прогноза. Если
прогнозное значение выпуска продукции
составит:
тыс.ед., тогда индивидуальное прогнозное
значение затрат на производство составит:
тыс д.е.
7. Оценка точность прогноза, ошибки прогноза и его доверительного интервала.
Ошибка прогноза составит:
.
Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:
.
Доверительный интервал прогноза:
и
.
Выполненный
прогноз затрат на производство является
надежным (
и находится в пределах от
тыс.д.е. до
тыс.д.е.
8. Построение графика исходных данных и теоретической прямой.
Рисунок 1 – График исходных данных и теоретической прямой
9. Расчет параметров нелинейных уравнений и
Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу 2
Таблица 2 – Расчетные данные
№ |
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
9 |
68 |
3 |
9 |
4624 |
204 |
69,379 |
702,25 |
1,902 |
0,02 |
2 |
11 |
72 |
3,317 |
11,002 |
5184 |
238,82 |
77,847 |
506,25 |
34,187 |
0,08 |
3 |
12 |
93 |
3,464 |
12 |
8649 |
322,15 |
81,791 |
2,25 |
125,64 |
0,12 |
4 |
14 |
98 |
3,742 |
14,003 |
9604 |
366,72 |
89,214 |
12,25 |
77,194 |
0,09 |
5 |
16 |
87 |
4 |
16 |
7569 |
348 |
96,123 |
56,25 |
83,229 |
0,11 |
6 |
16 |
92 |
4 |
16 |
8464 |
368 |
96,123 |
6,25 |
17 |
0,05 |
7 |
18 |
99 |
4,243 |
18,003 |
9801 |
420,06 |
102,61 |
20,25 |
13,047 |
0,04 |
8 |
19 |
111 |
4,359 |
19 |
12321 |
483,85 |
105,72 |
272,25 |
27,868 |
0,05 |
9 |
20 |
100 |
4,472 |
20 |
10000 |
447,2 |
108,75 |
30,25 |
16,563 |
0,09 |
10 |
23 |
125 |
4,796 |
23,002 |
15625 |
599,5 |
117,41 |
930,25 |
57,654 |
0,06 |
Итого |
158 |
945 |
39,393 |
158,01 |
91841 |
3798,3 |
944,97 |
2538,5 |
514,29 |
0,694 |
Ср |
15,8 |
94,5 |
3,9393 |
15,801 |
9184,1 |
379,83 |
94,5 |
253,85 |
51,429 |
0,0694 |
σ |
4,142 |
15,933 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
|
|
17,16 |
253,85 |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
|
