Задача 3.

Пример1. Определить расстояние от точки А до прямой l (рис.74 ).

Расстояние от точки до прямой определяется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Ход решения:

1. На эпюре проекции перпендикуляра к прямой можно построить, если прямая параллельна плоскости проекций. Поэтому сначала строим дополнительную ортогональную проекцию прямой и точки А на плоскости П₄, параллельной прямой l и перпендикулярной к П₁. При этом ось х₁₄ параллельна l_1. Для построения дополнительной проекции прямой l на ней отмечены точки 1 и 2.

2. Проводим дополнительную проекцию А₄K₄ перпендикуляра (А₄K₄ l₄), а затем строим горизонтальную проекцию А₁К₁. Построена также и фронтальная А₂К₂ проекция перпендикуляра АК.

Рис.74

3. По двум данным проекциям отрезка АК (А₁К₁ и А₄K₄) находим его длину, построив дополнительную ортогональную проекцию отрезка на плоскости П₅ , параллельной АК и перпендикулярной к П₄. Ось х₄₅параллельна А₄К₄. (рис. 74).

Аналогично можно определить расстояние между двумя параллельными прямыми. Для этого возьмем на одной прямой любую точку и найдем расстояние от этой точки до второй прямой.

Пример 2. Определить расстояние от точки А до плоскости α (ΔВСD) (рис.75).

Расстоянием от точки до плоскости является длина отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Если плоскость является проецирующей, то перпендикуляр к ней параллелен плоскости проекций и длина проекции его отрезка на этой плоскости проекций равна искомому расстоянию. Исходя из этого построим дополнительную ортогональную проекцию плоскости α и точки А на плоскости , перпендикулярной к плоскости α и к плоскости П₁.

Ход решения :

1. Плоскость П₄ будет перпендикулярна к плоскости α, если она перпендикулярна к горизонтали этой плоскости. При этом ось х₁₄ перпендикулярна к горизонтальной проекции h₁ горизонтали h плоскости α. Дополнительной ортогональной проекцией плоскости α на плоскость П₄ является прямая B₄C₄D₄ .

2. Из точки А₄ опускаем перпендикуляр А₄ K₄ на прямую B₄C₄D₄. Длина отрезка А₄K₄ равна расстоянию от точки А до плоскости α(ΔBCD) .

Рис.75

Построим проекции отрезка АК. Горизонтальная проекция А₁К₁ параллельна оси х₁₄, так как отрезок АК параллелен плоскости П₄, и перпендикулярна к горизонтальной проекции h₁горизонтали h плоскости α. Фронтальную проекцию К₂ точки К строим по двум ее проекциям К₁ и K₄ (рис.75).

На основании решения рассмотренной задачи можно определить расстояние между параллельными прямой и плоскостью, между двумя параллельными плоскостями.

Задача 4. Определить натуральную величину угла между двумя пересекающимися прямыми (рис. 76).

Ход решения :

1. Угол между двумя пересекающимися прямыми спроецируется без искажения на плоскость проекций, параллельную плоскости α ( m ⋂ n).Но сразу выбрать плоскость параллельную плоскости угла и перпендикулярную плоскостям проекций невозможно. Поэтому сначала построим дополнительную ортогональную проекцию плоскости α( m ⋂ n ) на плоскость ей перпендикулярную П₄┴α( m ⋂ n). и П₄┴П_1. Для этого в плоскости α( m ⋂ n )проведена горизонталь h и перпендикулярно ей построена ось х_14.Плоскость α спроецируется в прямую линию.

2. Затем построим дополнительную ортогональную проекцию плоскости α( m ⋂ n ) на плоскость ей параллельную П_5║ α( m ⋂ n ) и П₅┴ П_4. Ось х₄₅ проведена параллельно α₄.Угол между m ₅ и n₅ равен искомому углу φ(рис.76).

Рис.76

Задача 5. Построить точки пересечения прямой l с поверхностью призмы. Определить видимость прямой (рис77.).

Через заданную прямую проведем вспомогательную плоскость частного положения. При пересечении гранной поверхности с плоскостью получается многоугольник, вершины которого находятся на ребрах. При пересечении этого многоугольника с заданной прямой получим искомые точки.

Ход решения:

1.Через прямую l проведем фронтально-проецирующую плоскость αП₂, l₂≡ α₂

2. Строим линию пересечения плоскости α с поверхностью призмы. На фронтальной проекции отметим 1₂, 2₂, 3₂ ,в которых α₂ пересекает проекции ребер.

Построим горизонтальные проекции 1₁, 2₁ и 3₁ на соответствующих проекциях ребер. Соединяем горизонтальные проекции1₁,2₁,3₁ ломаной линией с учетом видимости. Боковая грань, примыкающая к ребру ВС основания на горизонтальной проекции невидима, т.к. это ребро невидимо. Следовательно, отрезок 2-3 также не видим.

На пересечении горизонтальной проекции l₁ с горизонтальной проекцией 1₁-2₁-3₁ отметим горизонтальные проекции M₁ и N₁ точек М и N.

Построим фронтальные проекции M₂ и N₂ точек М и N на l₂.

3. Определяем видимость прямой l. Между полученными точками M и N на обеих проекциях прямая невидима всегда. Горизонтальная проекция l₁ невидима между M₁N₁ и от M₁ до горизонтальной проекции ребра В₁, т. к. горизонтальная проекция М₁ принадлежит невидимой относительно П₁ грани ВС.

На П₂: точка М находится на грани BС видимой относительно П₂, следовательно, М₂ видима и фронтальная проекция l₂ видима до М₂. Точка N принадлежит грани АC, невидимой относительно П₂, следовательно, фронтальная проекция N₂ невидима и фронтальная проекция l₂ от N₂ невидима. За очертаниями призмы прямая l видима (рис.74 ).

Рис.77

Задача 6. Построить точки пересечения прямой l с поверхностью цилиндра. Определить видимость прямой (рис.78).

Для нахождения точек пересечения прямой с поверхностью необходимо через прямую провести вспомогательную плоскость такую, чтобы она пересекала поверхность цилиндра по простым линиям. Проведем плоскость, параллельную оси цилиндра. Зададим ее параллельными прямыми. Эта плоскость пересекает заданную поверхность по образующим.