Размыкание и замыкание

Формулы размыкания и замыкания для полутоновых изображений имеют такой же вид, что и для двоичных изображений. Размыкание изображения ƒ по элементу b обозначается ƒ°b и определяется выражением

ƒ°b=(f b) b.

Как и ранее, сначала выполняется эрозия ƒ по b, за которой следует дилатация по b. Аналогично, замыкание ƒ по b, обозначаемое ƒ•b, есть дилатация, после которой совершается эрозия:

ƒ°b=(f b) b.

Обе эти операции имеют простую геометрическую интерпретацию. Представим изображение ƒ (х, у) в виде трехмерной поверхности, т.е. значения яркости представляются высотами над координатной плоскостью

ху. Тогда процесс размыкания ƒ по b представляет собой перемещение (перекатывание) структурообразующего элемента строго под трехмерной поверхностью изображения ƒ, причем поверхность размыкания получается как огибающая высшие точки, которые достигают этот элемент.

Рис. 24 иллюстрирует эту процедуру в одномерном случае. Рассмотрим кривую на рис. 24а), которая представляет собой значения высот (яркости) вдоль какой-то строки изображения. На рис. 24б) показано несколько положений плоского структурообразующего элемента при перемещении под кривой. Результат замыкания дан на рис. 24в) жирной линией над серой областью. Поскольку структурообразующий элемент слишком велик, чтобы поместиться внутри узкого пика, расположенного посередине исходного изображения, это пик срезается при размыкании. В общем случае процедура размыкания используется для удаления узких всплесков яркости при сохранении среднего полутонового фона и широких областей изменения яркости относительно неизменными.

Рис. 24г) иллюстрирует процесс замыкания. Теперь структурообразующий элемент перемещается сверху по поверхности кривой яркости. Результат замыкания, показанный на рис. 24д), получается нахождением всех самых нижних точек, которые достигаются элементом при движении по кривой. Видно, что замыкание подавляет более темные малые колебания яркости, размеры которых меньше размеров элемента.

Пример 9. Морфологическое сглаживание с помощью размыкания и замыкания.

Поскольку размыкание удаляет яркие детали, которых меньше, чем структурообразующих элементов, а замыкания, наоборот, подавляют аналогичные темные детали малых размеров, то эти процедуры широко используются в различных сочетаниях при сглаживании и удалении постороннего шума. В этом примере мы применяем функции imopen и imclose для сглаживания изображения деревянных шпонок на рис. 25а):

>> f = imread ( ‘ plugs. jpg ’ ) ;

>> se = strel ( ‘ disk ’, 5 ) ;

>> fo = imopen ( f , se ) ;

>> foc = imclose ( fo , se ) ;

Рисунок 24 – Размыкание и замыкание в одном измерении. а) График исходного одномерного сигнала. б) Плоский структурообразующий элемент, пододвинутый снизу к графику сигнала в ряде точек. в) Результат размыкания. г) Плоский структурообразующий элемент, пододвинутый сверху к графику сигнала в ряде точек. д) Результат замыкания

На рис. 25б) показано разомкнутое изображение fo, а на рис. 25в) – замкнутое изображение foc. Обратите внимание на сглаживания фона и деталей объектов изображения. Эту процедуру часто называют фильтрацией размыканием-замыканием. Фильтрация размыканием-замыканием приводит к похожему результату.

Другой путь комбинирования размыкания и замыкания состоит в альтернативной последовательной фильтрации. Одна из форм альтернативной последовательной фильтрации заключается в серии фильтраций размыканием-замыканием рядом структурообразующих элементов с увеличивающимися размерами. Следующая последовательность команд иллюстрирует этот процесс, который начинается с малого структурообразующего элемента с последующим увеличением его размера до тех пор, пока он не сравняется с элементом, использованным при построении рис. 25б) и в):

>> fasf = f ;

>> for k = 2:5

se = strel ( ‘ disk ’ , k ) ;

fasf = imclose ( imopen ( fasf , se ) , se ) ;

end

Результат приведен на рис. 25г). Он является более гладким по сравнению с результатом простой фильтрации размыканием-замыканием, но платой служат дополнительные вычислительные затраты.

Рисунок 25 – Сглаживание при помощи размыкания и замыкания. а) Исходное изображение деревянных шпонок. б) Изображение, разомкнутое с помощью круга радиуса 5. в) Замыкание результата размыкания. г) Результат альтернативной последовательной фильтрации

Пример 10. Применение преобразования «верх шляпы».

Размыкание можно использовать для компенсации неравномерной яркости фона изображения. На рис. 26а) дано изображение f зерен риса, на котором фон в нижней части темнее, чем в верхней части изображения. Неравномерный фон создает трудности при пороговой обработке изображений. Например, на рис. 25б) приведен результат пороговой обработки, на которой зерна из верхней части хорошо отделены от фона, а из нижней части – плохо. Размыкание изображения может дать правильное приближение фона, если структурообразующий элемент достаточно велик, чтобы целиком поместиться внутри каждого рисового зернышка. Например, командами

>> se = strel ( ‘disk’ , 10 ) ;

>> fo = imopen ( f, se ) ;

совершается размыкание изображения на рис. 26в). Если вычесть это изображение из исходного, то получится изображение зерен на достаточно однородном фоне:

>> f2 = imsubtract ( f , fo ) ;

Рис. 26г) показывает результат этого действия, а на рис. 26д) приведено новое изображение после пороговой обработки. Налицо эффект улучшения.

Вычитание разомкнутого изображения из исходного называется преобразованием «верха шляпы». Функция IPT imtophat выполняет эти действия за один шаг:

>> f2 = imtophat ( f , se ) ;

Функцию imtophat можно вызывать командой g = imtophat (f, NHOOD), где NHOOD – это массив из нулей и единиц, которые обозначает размер и форму используемого структурообразующего элемента. Этот синтаксис схож с вызовом этой функции в виде imtophat ( f , strel ( NHOOD ) ).

Сопряженная функция imtophat совершает преобразование «дно шляпы», которое по определению есть замыкание изображения минус само изображение. Ее форма вызова подобна синтаксису функции imtophat. Эти функции можно употреблять в сочетании друг с другом, например, для усиления контрастности командами вида

>> se = strel ( ‘ disk ’ , 3 ) ;

>> g = imsubtract ( imadd ( f , imtophat ( f , se ) ) , imtophat ( f , se ) ) ; ٱ

Рисунок 26 – Преобразование «верх шляпы». а) Исходное изображение. б) Изображение после пороговой обработки. в) Разомкнутое изображение. г) Преобразование «верх шляпы». д) «Верх шляпы» после пороговой обработки

Пример 11. Гранулометрия.

Методы определения размеров рассыпанных объектов на изображении составляют важную часть гранулометрии. Для нахождения размеров объектов можно воспользоваться неявным морфологическим подходом, т.е. без измерения размеров каждого отдельного объекта. Для объектов с регулярными формами, которые ярче, чем фон изображения, метод заключается в применении морфологического размыкания с увеличивающимися размерами. Для каждого акта размыкания вычисляется сумма всех значений пикселов. Эта сумма иногда называется площадью поверхности изображения. Следующие команды реализуют размыкание с помощью (структурообразующего элемента) круга, радиус которого меняется от 0 до 35, применительно к изображению 25а):

>> f = imread ( ‘ plugs. jpg ’ ) ;

>> sumpixels = zeros ( 1 , 36 ) ;

>> for k = 0:35

se = strel ( ‘ disk ’ , k ) ;

fo = imopen ( f , se ) ;

sumpixels ( k + 1 ) = sum ( fo (:) ) ;

end

>> plot ( 0:35 , sumpixels ) , zlabel ( ‘ k ’ ) , ylabel ( ‘ Surface area ’ )

Рисунок 27 – Гранулометрия. а) Площадь поверхности как функция радиуса структурообразующего элемента. б) Уменьшение площади поверхности как функция радиуса структурообразующего элемента. в) Уменьшение площади поверхности как функция радиуса для сглаженного изображения

На рис. 27а) приведен график зависимости sumpizels от радиуса k. Более наглядным является график уменьшения площади поверхности между последовательными размыканиями:

>> plot ( -diff ( sumpixels ) )

>> xlabel ( ‘ k ’ )

>> ylabel ( ‘ Surface area reduction ’ )

Пики на рис. 27б) говорят о присутствии большого числа объектов, имеющих этот радиус. Поскольку исходное изображение является достаточно зашумленным, мы повторили эту процедуру применительно к его сглаженной версии на рис. 25г). Результат построен на рис. 27в). Теперь имеется достаточно оснований, чтобы сделать вывод о присутствии двух характерных размеров объектов на исходном изображении. ٱ