3. Временные характеристики системы

Если выходной и входной сигналы функции времени, то свойства системы также необходимо отобразить во временной области. Для этого используют тестовые воздействия, имеющие простую аналитическую форму. Если система управляема, то она отреагирует на тестовое воздействие единственным образом. Одним из таких воздействий является дельта-функция Дирака Математически она представляет собой бесконечно короткий импульс произвольной формы с бесконечно большой амплитудой но с единичной площадью (энергией). Поэтому интеграл от этой функции равен единице:

Реакция системы на такой импульс называется импульсной характеристикой системы или весовй функцией. Необходимым условием правильности отображения свойств системы является то, что в момент прихода тестового сигнала она должна находиться в состоянии покоя, то есть освободиться от всех видов энергии. На математическом языке это называется нулевыми начальными условиями. Из-за этого ограничения весовая функция менее информативна, чем исходные уравнения, так как не учитывает текущее состояние системы при ее работе в реальных условиях. Она отображает свойства объекта в целом, но не внутренние взаимосвязи. Импульсной характеристикой называется свободное движение системы после воздействия дельта-функции при нулевых начальных устовиях. Зная импульсную характеристику можно найти реакцию системы на произвольное внешнее воздействие x(t). Движение выходной координаты описывается интегралом свертки, который в технических приложениях называют интегралом Дюамеля:

Это определенный интеграл с переменным верхним пределом по вспомогательной переменной Его физический смыл очень прост – он учитывает все прошлое процесса с весом . В любой произвольный момент времени t значение выходного сигнала y(t) найдется как сумма всех предыдущих реакций

Другим классическим тестовым сигналом является прямоугольный единичный скачок. Его математическая форма:

Единичный скачок может быть задан как интеграл от дельта-функции. Следствием этого является то, что переходная функция определяется как интеграл от импульсной характеристики:

5. Частотные характеристики.

Существует обратное преобразование Фурье, позволяющее по известной частотной характеристике найти функцию времени:

(

Частотная характеристика является комплексной и может быть представлена в виде:

где соответственно действительная и мнимая части. По ним можно найти модуль и фазу выходного сигнала:

Г рафически АФХ может быть представлена двумя способами: в виде частотного годографа или в виде отельных кривых отображающих амплтуду и фазу. Частотный годограф располагается на комплесной плоскости и представляет собой кривую, которую описывает конец вектора с модулем при увеличении частоты от нуля до бесконечности. Для реальных систем он приходит в начало координат Амплитудная характеристика обычно выполняется в логарифмическом масштабе. Это делает ее более наглядной при больших диапазонах изменения отображаемых процессов. Кроме того ее можно аппроксимировать прямыми линиями, что упрощает графические построения.