1.2. Тройной интеграл

Пусть V замкнутая область в декартовой прямоугольной системе координат Oxyz и непрерывная функция, определенная в этой области. Разобьем область V произвольным образом на n непересекающихся областей V_i с объемами . В каждой области V_i возьмем произвольным образом точку и составим сумму

,

которую назовем интегральной суммой.

Определение. Предел последовательности интегральных сумм при и стремлении к нулю максимального из диаметров частичных областей V_i , который не зависит от разбиения области на частичные области V_i и выбора точек M_i, называется тройным интегралом от функции по области V и символически обозначается

,

т.е.

.

Теорема существования тройного интеграла. Если функция непрерывна в области V, то тройной интеграл существует.

Свойства тройного интеграла аналогичны свойствам двойного интеграла. Отметим лишь, что если область разбить на две части некоторой гладкой поверхностью, то

.

1.2.1. Вычисление тройных интегралов в декартовой системе координат

Рис. 9

Рассмотрим область интегрирования V, ограниченную снизу поверхностью , сверху поверхностью и цилиндрической поверхностью с образующей, параллельной оси Oz. Пусть D – проекция области V на плоскость xОy (Рис. 9) и любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области V не более чем в двух точках. Тогда для любой непрерывной в области V функции имеет место формула

(6).

Записывая двойной интеграл по области D через повторный, получаем

(7).

В формуле (7) сначала вычисляют внутренний интеграл по переменной z, при этом x и y рассматриваются как постоянные величины. Затем, получив функцию F(x,y), вычисляют следующий интеграл по переменной y, считая x постоянной величиной. И, наконец, получив функцию G(x), вычисляют интеграл .

Замечание. Порядок интегрирования может быть изменен, то есть область интегрирования может быть спроектирована на любую координатную плоскость.

Пример.

Вычислить тройной интеграл , где V – трехгранная призма, ограниченная плоскостями

Решение. Построим область интегрирования V (Рис. 10). Границами области являются плоскость: , параллельная оси Oz, плоскости , параллельные плоскости xOy и координатные плоскости .

Так как область интегрирования V (Рис. 10) ограничена сверху поверхностью , снизу и проекцию области V на плоскость xOy (Рис. 11) можно задать неравенствами

,

Рис. 10

Рис. 11

то по формуле (7) имеем

.

Сначала вычисляем внутренний интеграл, считая x и y постоянными

.

Далее вычисляем следующий интеграл от полученной функции по переменной y, считая x постоянной величиной,

.

И, наконец, вычисляем внешний интеграл по переменной x

.

Ответ:

1.2.2. Криволинейные координаты в пространстве. Замена переменных в тройном интеграле

Так же, как и в случае двойного интеграла при вычислении тройных интегралов в ряде задач для упрощения вычислений, оказывается удобным произвести замену переменных (или перейти к криволинейным координатам). Выбор новых координат определяется в первую очередь видом области интегрирования.

В общем случае криволинейные координаты вводятся системой

.

Тогда замена переменных в тройном интеграле осуществляется по формуле

, (8)

где V^*- образ области V при данном отображении.

- якобиан перехода к криволинейным координатам ( в области ).

Наиболее употребительными из криволинейных координат в пространстве являются:

• Цилиндрические координаты.

В случае цилиндрических координат положение точки M в пространстве определяется тремя числами (Рис. 12):

Рис. 12

 ( полярный радиус) - длина вектора , где M1 – проекция точки M на плоскость xOy,  (полярный угол) – угол между осью Ox и вектором , z – аппликата точки M. Цилиндрические координаты связаны с декартовыми координатами соотношениями: , (9) .

Якобиан перехода к цилиндрическим координатам есть , Таким образом, формула (8) в случае перехода к цилиндрическим координатам имеет вид

(10),

где V^* образ области при данном отображении.

• Сферические координаты.

В случае сферических координат положение точки M в пространстве определяется тремя числами (Рис. 13):

Рис. 13

 - длина радиус- вектора ,  – угол между осью Ox и вектором , где М1 проекция точки М на плоскость xOy , – угол между осью и вектором . Сферические координаты связаны с декартовыми координатами соотношениями: , (11) .

Якобиан перехода к сферическим координатам есть . Тогда формула перехода в тройном интеграле к сферическим координатам будет

(12),

где V^* - образ области при данном отображении.

Замечание 1. При расстановке пределов в цилиндрических координатах внешний интеграл берут, как правило, по , следующий за ним по  и внутренний по z.

Замечание 2. При расстановке пределов интегрирования в сферических координатах внешний интеграл берут, как правило, по , следующий за ним по  и внутренний по радиус-вектору .

Пример 1.

Вычислить , где V область, ограниченная поверхностями: .

Решение. Область интегрирования V (Рис. 14) ограничена сверху плоскостью z=4, снизу параболоидом вращения с вершиной в точке (0,0,4) и боковая поверхность есть круговой цилиндр .

Так как проекцией области V на плоскость xOy является круг (Рис. 15), то при вычислении тройного интеграла целесообразно перейти к цилиндрическим координатам: .

Уравнение параболоида в цилиндрических координатах будет (так как ). Подынтегральная функция - . Предельные изменения координат φ и ρ определяем по виду проекции области интегрирования V на плоскость xOy (Рис.15). Очевидно, что изменение угла φ будет от 0 до 2π. При любом фиксированном угле φ полярный радиус ρ изменяется от 0 до 2. Любая прямая, проходящая через проекцию D, параллельно оси Oz, пересекает область интегрирования V в двух точках: в точке входа при и в точке выхода - при .

Таким образом,

Ответ:

Пример 2.

Вычислить , где .

Решение. Поверхность представляет собой сферу с центром в точке и радиусом (Рис. 16), т.к.

.

Для вычисления интеграла целесообразно перейти к сферическим координатам

.

Тогда уравнение сферы примет вид

.

Рис. 16

Подынтегральная функция в сферических координатах имеет вид: . Определим пределы изменения сферических координат φ, ρ, θ. Пусть М произвольная точка области V. Угол φ – это угол между проекцией радиус-вектора и осью Ох. Так как проекцией области V на плоскость xOy является круг, то, очевидно, что пределы изменения угла

φ будут от 0 до 2π. При каждом угол θ (угол между радиус-вектором и осью Oz) будет изменяться от 0 до . При любых φ и θ, из указанной области, ρ изменяется от 0 до (уравнение сферы).

Таким образом,

Ответ: