1.4 Математические методы анализа в экономике

По своей природе экономика - самая близкая к математике социальная наука. Уже в определении самого понятия экономики, ее главных задач можно увидеть математические понятия и терминологию.

Действительно, экономика - это общественная наука об использовании ограниченных ресурсов с целью максимального удовлетворения неограниченных материальных потребностей населения. Центральные проблемы экономической науки - рациональное ведение хозяйства, оптимальное распределение ограниченных ресурсов, изучение экономических механизмов управления, разработка методов экономических расчетов - по существу являются задачами, решаемыми в рамках математических наук. Количественные и качественные методы математики являются наилучшим вспомогательным аппаратом для получения ответов на основные вопросы экономики:

- что должно производиться (т. е. какие товары и услуги и в каком количестве надо производить)?

- как будут производиться товары (т. е. кем и с помощью каких ресурсов и какой технологии)?

- для кого предназначены эти товары (т.е. кем и как будут потребляться эти товары)?

Наконец, задача экономической теории, связанная с приведением в систему, истолкованием и обобщением поведения участников экономики в процессе производства, обмена и потребления, восходит к математическим проблемам оптимизации и принятия решения.

С учетом сказанного выше можно говорить о следующих основных задачах, стоящих перед математической экономикой:

- разработка математических моделей экономических объектов, систем и явлений (общих и частных задач экономики при различных условиях, предпосылках и на различных уровнях);

- изучение поведения участников экономики (условий существования оптимальных решений и их признаков, а также методов их вычисления в моделях потребления, фирмы, совершенной и несовершенной конкуренции и др.);

- изучение описательных моделей экономики (модели планирования, "затраты-выпуск", расширяющейся экономики, экономики благосостояния и роста и др.);

- анализ экономических величин и статистических данных (эластичности, средних и предельных величин, регрессионный и корреляционный анализ и прогнозирование экономических факторов и показателей).

Математической моделью реального объекта (явления) называется ее упрощенная, идеализированная схема, составленная с помощью математических символов и операций (соотношений).

Сложность экономических систем превышает порог, до которого стоится точная математическая теория. Поэтому неудивительно, что сколько-нибудь универсальных методов построения математических моделей в экономике не существует. Можно говорить лишь о некоторых общих принципах и требованиях к таким моделям. Перечислим наиболее основные из них:

1. адекватность (соответствие модели своему оригиналу),

2. объективность (соответствие научных выводов реальным условиям),

3. простота (не засоренность модели второстепенными факторами),

4. чувствительность (способность модели реагировать изменению начальных параметров),

5. устойчивость (малому возмущению исходных параметров должно соответствовать малое изменение решения задачи),

6. универсальность (широта области применения).

Для возможного проникновения математики в ту или иную область, последняя должна достичь определенного уровня содержательной зрелости.

Применение математических методов не полезно, а вредно до тех пор, пока реальное явление не освоено на гуманитарном (доматематическом) уровне. Следует отметить также, что не все элементы и факторы экономической системы могут быть формализованы. Таковы, например, психологические и эмоциональные факторы, настроения людей. Многие задачи просто "не решаются" на уровне должной строгости. Поэтому математическая модель (как и всякая модель) представляет собой не более, чем упрощение действительности. Однако в том и заключается методология прикладной математики, что для нее характерны менее формальные подходы (по сравнению с "чистой" математикой), категории не чисто качественные, но и не чисто количественные, свои приемы и методы (экспертные оценки, имитационное моделирование и др.).

Для проведения математических исследований экономической задачи требуется выполнение следующих основных этапов:

1. изучение предметной области и определение цели исследования;

2. формулировка проблемы;

3. сбор данных (статистических, экспертных и прочих);

4. построение математической модели;

5. выбор ( или разработка) вычислительного метода и построение алгоритма решения задачи;

6. программирование алгоритма и отладка программы;

7. проверка качества модели на контрольном примере;

8. внедрение результатов на практике.

Для построения математической модели конкретной экономической задачи (проблемы) необходимо выполнение следующей последовательности работ:

1. определение известных и неизвестных величин, а также существующих условий и предпосылок (что дано и что требуется найти?);

2. выявление важнейших факторов проблемы;

3. выявление управляемых и неуправляемых параметров;

4. математическое описание посредством уравнений, неравенств, функций и иных отношений взаимосвязей между элементами модели (параметрами, переменными), исходя из содержания рассматриваемой задачи.

Известные параметры задачи относительно ее математической модели считаются внешними (заданными априори, т. е. до построения модели). В экономической литературе их называют экзогенными переменными. Значение же изначально неизвестных переменных вычисляются в результате исследования модели, поэтому по отношению к модели они считаются внутренними. В экономической литературе их называют эндогенными переменными.

С точки зрения назначения, можно выделить описательные модели и модели принятия решения.

Описательные модели отражают содержание и основные свойства экономических объектов как таковых. С их помощью вычисляются числовые значения экономических факторов и показателей.

Модели принятия решения помогают найти наилучшие варианты плановых показателей или управленческих решений. Среди них наименее сложным являются оптимизационные модели, посредством которых описываются (моделируются) задачи типа планирования, а наиболее сложными - игровые модели, описывающие задачи конфликтного характера с учетом пересечения различных интересов. Эти модели отличаются от описательных тем, что в них имеется возможность выбора значений управляющих параметров (чего нет в описательных моделях).

Любая задача принятия решения характеризуется наличием лица или лиц, преследующих определенные цели и имеющих для этого определенные возможности. Поэтому для выявления основных элементов модели принятия решения требуется ответить на следующие вопросы:

• кто принимает решение?

• каковы цели принятия решения ?

• в чем состоит принятие решения ?

• каково множество возможных вариантов достижения цели?

• при каких условиях происходит принятие решения?

В качестве примера "классических" задач принятия решения можно привести следующие:

1. Транспортная задача. Имеется n поставщиков и m потребителей одного и того же продукта. Известны выпуск продукции у каждого поставщика и потребности в ней каждого потребителя, затраты на перевозки продукции от поставщика к потребителю. Требуется построить план транспортных перевозок с минимальными транспортными расходами с учетом предложения поставщиков и спроса потребителей.

2. Задача о назначениях на работу. Имеется n работ и n исполнителей. Стоимость выполнения работы i исполнителем j равна c_ij. Нужно распределить исполнителей на работы так, чтобы минимизировать затраты на оплату труда.

3. Задача о коммивояжере. Имеется n городов и заданы расстояния c_ij между ними (j,i=1,...,n). Выезжая из одного (исходного) города, коммивояжер должен побывать во всех остальных городах по одному разу и вернуться в исходный город. Нужно определить в каком порядке следует объезжать города, чтобы суммарное пройденное расстояние было наименьшим.

4. Задача о распределении капиталовложений. Имеется n проектов, причем для каждого проекта j известны ожидаемый эффект от его реализации и необходимая величина капиталовложений g_j. Общий объем капиталовложений не может превышать заданной величины b. Требуется определить, какие проекты необходимо реализовать, чтобы суммарный эффект был наибольшим.

5. Задача о размещении производства. Планируется выпуск m видов продукции, которые могли бы производиться на n предприятиях (n>m). Издержки производства и сбыта единицы продукции, плановый объем годового производства продукции и плановая стоимость единицы продукции каждого вида известны. Требуется из n предприятий выбрать такие m, каждое из которых будет производить один вид продукции.

К числу наиболее крупных разделов прикладной математики, применяемых в экономических исследованиях, следует отнести такой предмет как исследование операций.

Исследование операций - это наука, которая занимается построением математических моделей реальных задач и процессов, происходящих в различных сферах жизни (экономических, социальных, технических, военных и др.), их анализом и применениями. Большинство этих моделей связано с выработкой рекомендаций по принятию оптимальных решений.

Основными разделами исследования операций являются:

• игровые модели принятия решений (теория игр);

• системы массового обслуживания (теория массового обслуживания);

• задачи многокритериальной оптимизации;

• задачи исследования операции на графах;

• сетевое и календарное планирование (теория расписаний);

• модели управления запасами (теория запасов);

• имитационное моделирование.

Весьма близким к исследованию операций разделом прикладной математики является предмет методы оптимизации. Эта наука сформировалась раньше исследования операций и занимается так называемыми экстремальными задачами, суть которых состоит в отыскании максимального или минимального значения заданной функции (целевой функции) на заданном множестве значений ее аргументов (множества допустимых решений). Если множество допустимых решений задается (описывается) с помощью некоторых уравнений или неравенств, называемых ограничениями задачи, то экстремальные задачи называются задачами математического программирования. В зависимости от характера этих ограничений и целевой функции возникают задачи линейного программирования, нелинейного программирования, динамического программирования и некоторые их разновидности. Здесь термин "программирование" имеет смысл "планирования", "сравнения вариантов", "оптимизации". Экстремальные задачи еще называют оптимизационными задачами или задачами оптимизации.

Не будет преувеличением сказать, что многие из перечисленных теорий возникли благодаря и для решения экономических задач. Ярким примером в этом смысле является теория игр - раздел исследования операций, изучающий конфликтные задачи принятия решений.

При моделировании многих экономических задач возникает необходимость учета случайных факторов и возмущений. В этом случае наиболее подходящим инструментом является аппарат теории вероятностей - математической науки, изучающей закономерности в случайных явлениях.

Названные разделы исследования операций и методов оптимизации наиболее приспособлены для исследования так называемых статистических задач, т.е. для исследования экономики в некотором зафиксированным или "застывшем" состоянии, без учета динамики. Для учета влияния временного фактора привлекаются другие разделы прикладной математики. В первую очередь - это теория оптимального управления. Эта теория помогает исследовать модели экономической динамики и выработать наилучшие управленческие решения с учетом дискретного и непрерывного учета фактора времени.

Попытка математического описания поведения людей приводит к формализации принципов поведения. В рамках такой формализации описывается не всякое поведение, а поведение разумных людей, связанное с принятием решения. При этом отправными точками являются следующие факты.

Во-первых, люди принимают решение для достижения какой-то цели (достижение определенного уровня благосостояния, выполнение плана или взятых на себя обязательств и т. д.).

Во-вторых, если существуют различные варианты (пути) достижения цели, то естественно стремиться к такому решению, которое наилучшим образом способствует достижению поставленной цели (в смысле выгодности, справедливости, устойчивости).

Поэтому в задаче принятия решения под принципом оптимальности понимается та совокупность правил, при помощи которых субъект определяет свое действие (решение, альтернативу, стратегию), наилучшим образом способствующее достижению преследуемой им цели. Решение, удовлетворяющее выбранному принципу оптимальности, называется оптимальным решением.

Конечная цель исследования любой задачи принятия решения - это нахождение оптимальных решений.

Принцип оптимальности выбирается исходя из учета конкретных условий принятия решения: количества участников, их возможностей и целей, характера столкновения интересов. Формализация оптимального поведения - один из сложных этапов математического моделирования.

В теории принятия решения (особенно в теории игр), разработано большое число формальных принципов оптимального поведения. Мы остановимся лишь на некоторых из них:

1. Принцип максимизации (минимизации). Такой принцип применяется, в основном, в задачах математического программирования.

2. Принцип свертки критериев. Применяется при "оптимизации" многих критериев одним координирующим центром (задача многокритериальной оптимизации).

3. Принцип минимакса. Применяется при столкновении интересов противоборствующих сторон (антагонистический конфликт). Каждый субъект сначала для каждой своей стратегии (альтернативы) вычисляет "гарантированный" результат, затем окончательно выбирает ту стратегию, для которой этот результат наибольший по сравнению с другими его стратегиями. Такое действие не дает "максимального выигрыша", однако является единственно разумным принципом оптимальности в условиях антагонистического конфликта. В частности, исключен всякий риск.

4. Принцип равновесия по Нэшу. Это обобщение принципа минимакса, когда во взаимодействии участвуют много сторон, преследующий каждый свою цель (прямого противостояния нет). Пусть число участников неантагонистического конфликта есть n. Набор выбранных стратегий (х₁* , х₂*,..., х_n*) называется равновесным, если одностороннее отклонение любого субъекта от этой ситуации может привести разве лишь к уменьшению его же "выигрыша". В ситуации равновесия по Нэшу участники не получают максимального "выигрыша", но они вынуждены придерживаться ее.

5. Принцип оптимальности по Парето. Данный принцип предполагает в качестве оптимальных те ситуации, в которых улучшение "выигрыша" отдельного участника невозможно без ухудшения "выигрышей" остальных участников. Этот принцип предъявляет более слабые требования к понятию оптимальности, чем принцип равновесия по Нэшу. Поэтому Парето-оптимальные ситуации существуют почти всегда.

6. Принцип недоминируемых исходов. Этот принцип является представителем многих принципов оптимальности в кооперативных играх (в задачах коллективного принятия решений) и приводит к понятию "ядра" решений. Все участники объединяются и совместными согласованными действиями максимизируют "общий выигрыш". Принцип недоминируемости - один из принципов "справедливого" дележа между участниками общего выигрыша. Это та ситуация, когда ни один из участников не может аргументированно возразить против предлагаемого дележа (элемента "ядра").

7. Принципы устойчивости (угрозы и контругрозы). Идея всех принципов устойчивости на основе угроз и контругроз заключается в следующем. Каждая коалиция участников выдвигает свое предложение, сопровождая его реальной угрозой: если предложение не будет принято остальными участниками, то будут предприняты такие действия, которые ухудшают положение остальных участников и не ухудшают (возможно улучшают) положение угрожающей коалиции. Оптимальным считается то решение, в условиях которого против всякой угрозы любой коалиции найдется контругроза со стороны какой-то коалиции.

8. Арбитражные схемы. Экономические конфликты наводят на мысль об "общественном арбитре". Нежелательно, чтобы столкновения интересов переходили, например, в открытые угрозы и контругрозы. Должны существовать социальные механизмы, которые позволяли бы учитывать предпочтения и стратегические возможности каждого участника и обеспечили бы "справедливое" решение конфликта. Такой предварительный механизм, будь то отдельное лицо или система голосования, называется арбитром. В теории игр оптимальное, в смысле арбитражной схемы, решение строится при помощи системы аксиом, включающих такие понятия, как статус-кво, оптимальность по Парето, линейность альтернатив, независимость от рангов и т. д.

Рассмотрим далее вопросы оптимального принятия решения в условиях неопределенности. Для выработки оптимального поведения субъекта такую ситуацию полезно моделировать как антагонистическую игру двух лиц, где в качестве противника субъекта рассматривается природа. Последняя наделяется всеми мыслимыми в данных условиях возможностями.

В "играх с природой" существуют свои специфические (хотя и напоминающие принцип минимакса) принципы оптимального выбора решения.

1. Принцип крайнего пессимизма (критерий Вальда) Согласно этому принципу игра с природой (принятие решения в условиях неопределенности) ведется как с разумным, агрессивным противником, делающим все для того, чтобы помешать нам достигнуть успеха. Оптимальной считается стратегия, при которой гарантируется выигрыш не меньший, чем "разрешенный природой".

2. Принцип минимаксного риска (критерий Сэвиджа). Этот принцип также пессимистический, но при выборе оптимальной стратегии советует ориентироваться не на "выигрыш", а на риск. Риск определяется как разность между максимальным выигрышем (при условии полной информации о состоянии природы) и реальным выигрышем (при незнании состояния природы). В качестве оптимальной выбирается та стратегия, при которой величина риска минимальна.

3. Принцип пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица). Этот критерий рекомендует при выборе решения не руководствоваться ни крайним пессимизмом ("всегда рассчитывай на худшее!"), ни крайним оптимизмом ("авось, кривая вывезет!"). Согласно этому критерию максимизируется взвешенное среднее между выигрышами крайнего пессимизма и крайнего оптимизма. Причем "вес" выбирается из субъективных соображений об опасности ситуации.

Все изложенные выше принципы оптимальности сформулированы относительно статических задач принятия решения. Попытка применения их в динамических задачах может сопровождаться всевозможными осложнениями. Причина этого заключается в особенностях динамических процессов. Нужно, чтобы тот или иной принцип оптимальности, выбранный в начальном состоянии процесса (в начальный момент времени), оставался содержательным в любом текущем состоянии (в любой момент времени) вплоть до конца динамического процесса. Это свойство называемое динамической устойчивостью принципов оптимальности, можно рассматривать как принцип реализуемости "статических" принципов оптимального поведения в динамических моделях принятия решения.

Несмотря на ограничения в применении математических методов в экономических исследования, экономисты стремятся формализовать любые хозяйственные процессы, как статичные, так и динамические, добиваясь тем самым более точного и объективного знания. Наряду с безусловными достижениями такого подхода (концепциями предельных величин, принципами равновесия и оптимума, функциональным анализом, мультипликативными эффектами и т.д.), существуют и определенные проблемы, особенно обострившиеся в современной экономической теории. Связаны эти проблемы с прогрессирующей бесплодностью математических изысканий в сфере экономики и уходом экономических исследований в такие частные и специфические сферы, что результаты научных работ имеют очень узкие границы применимости. Поэтому в противовес математизации экономики актуализируются методы описательно-эмпирической направленности.