10.Единственность предела сходящейся последовательности
Теорема. Последовательность точек расширенной числовой прямой может иметь на этой прямой только один предел.
Доказательство.
1. Используем для доказательства метод от противного.
2.
Пусть существует последовательность
{xn}
,
у которой имеются, по крайней мере, два
различных предела: а
,
b
.
3.
Выберем произвольные
и
так, чтобы
- окрестно-сть точки а
не пересекалась с
- окрестностью точки b.
Это всегда мож-но сделать согласно лемме
о непересекающихся окрестностях.
4. В соответствии с определением предела:
а)
если
,
то
:
б)
если
,
то
:
5.
Обозначим через
наибольший из номеров элементов
последователь-ности
и
:
.
6.
Тогда для
будет одновременно выполняться
и
, следовательно, окрестности должны пересекаться:
.
7. Но это противоречит лемме. Ведь - окрестность точки а при пере-сечении с - окрестностью точки b дает пустое множество.
8. Полученное противоречие показывает, что принятое утверждение неверно и что теорема доказана [28].
Следствие. Числовая последовательность может иметь только один предел, конечный или бесконечный определенного знака.
Следствие является частным случаем теоремы [28].
1 модуль
Тема №2
Предел последовательности
Лекция №5
1. Ограниченность сходящейся последовательности.
2. Переход к пределу в неравенствах.
3. Теорема о пределе сжатой переменной.
4. Теорема о
необходимом и достаточном условии
сходимости последовательности к числу
.
5. Бесконечно малые последовательности.
6. Свойства бесконечно малых последовательностей.
7. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.
11. Ограниченность сходящейся последовательности
Определение.
Последовательность
{xn}
называется
ограниченной свер-ху,
если существует число М такое, что для
всех элементов
последователь-ности выполняется
неравенство:
.
Рис.5.
Все элементы
последовательности
(лежат левее точки М).
Пример.
ограничена сверху
,
.
Определение.
Последовательность
{xn}
называется
ограниченной сни-зу,
если существует число т такое, что для
всех элементов
последователь-ности выполняется
неравенство:
.
Рис.6.
Все элементы
последовательности
(лежат правее точки т)
[28].
Пример.
ограничена снизу
,
.
Определение.
Последовательность
называется ограниченной, если она
ограничена и сверху, и снизу, т.е.
существуют числа т и М такие, что любой
элемент xn
этой
последовательности удовлетворяет
неравенствам
.
Рис.7.
Все
элементы
последовательности
.
Пример.
ограничена,
так как для любого элемента последовательности
выполняется неравенство
,
,
.
Определение. Последовательность называется неограниченной св-ерху (снизу), если она не является ограниченной сверху (снизу). [30].
Неограниченная последовательность сверху (снизу) может быть ограни-чена снизу (сверху).
Теорема. Если последовательность имеет предел, то она ограниче-на.
Доказательство.
1. Пусть – сходящаяся последовательность, а число а – ее пре-дел.
2. Выберем .
3. Тогда существует такое натуральное число N, что будет выполняться неравенство .
4.
Прибавим к левой и правой частям
неравенства по положительному числу
:
.
5.
Воспользуемся свойством модуля суммы
двух действительных чи-сел
.
6.
Тогда левая часть неравенства пункта
4 примет вид:
.
7.
Примем за
,
тогда
,
- условие ограниченности последовательности.
Значит последовательность
– ограничена, если имеет предел [29].
Ч.т.д.