4 Определение устойчивости системы управления алгебраическим критерием

Алгебраический критерий позволяет определять устойчивость системы управления по коэффициентам характеристического полинома без вычисления его корней.

4.1 Определение устойчивости системы управления критерием Гурвица

Задача

Определить устойчивость замкнутой системы управления, передаточная функция которой , используя алгебраический критерий устойчивости Гурвица.

Решение

Характеристический полином системы

.

Матрица Гурвица будет иметь вид

Найдем определители матрицы

;

;

.

Если при заданной постоянной времени Т все определители матрицы Гурвица положительны, то делаем вывод об устойчивости замкнутой системы управления. В случае отрицательного значения хотя бы одного определителя делаем вывод о неустойчивости системы.

4.2 Определение устойчивости системы управления критерием Рауса

Задача

Определить устойчивость замкнутой системы управления, передаточная функция которой , используя алгебраический критерий устойчивости Рауса.

Решение

Характеристический полином системы

.

Таблица Рауса будет иметь вид

r	Номер строки	Номер столбца
		1	2
	1	0,5T	0,2+T
	2	0,5+0,2T	3,5
	3		0
	4		0

Если при заданной постоянной времени Т все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса положительны, то делаем вывод об устойчивости замкнутой системы управления. В случае отрицательного значения хотя бы одного коэффициенты делаем вывод о неустойчивости системы.

5 Определение устойчивости системы управления частотным критерием

5.1 Определение устойчивости системы управления критерием Михайлова

Задача

Определить устойчивость замкнутой системы управления, передаточная функция которой , при Т = 1, используя частотный критерий устойчивости Михайлова.

Решение

Характеристический полином системы

.

Заменим оператор дифференцирования p на (jω) и выделим вещественную и мнимую части

.

,

Решив системы уравнений, будут получены координаты для построения годографа.

ω	0	1	2	2,5	3
Re(ω)	3,5	2,8	0,7	-0,8	-2,8
Im(ω)	0	0,7	-1,6	-4,8	-9,9

Строим годограф.

Делаем вывод о неустойчивости системы управления, т.к. годограф не окружает начало координат.

5.2 Определение устойчивости системы управления критерием Найквиста

Задача

Определить устойчивость замкнутой системы управления, разомкнутая передаточная функция которой , при Т = 1, используя частотный критерий устойчивости Найквиста.

Решение

Характеристический полином разомкнутой системы

.

Найдем корни кубического уравнения.

Т.к. все корни имеют отрицательные вещественные части, делаем вывод об устойчивости системы в разомкнутом состоянии.

Введем вспомогательную передаточную функцию W₁(p).

.

Построим годограф Михайлова для вспомогательной функции.

ω	0	1	2	3
Re(ω)	1	0,3	-1,8	-5,3
Im(ω)	0	0,7	-1,6	-9,9

Делаем вывод о неустойчивости системы в замкнутом состоянии, т.к. годограф вспомогательной передаточной функции охватывает начало координат.