Степенные ряды
Функциональный ряд вида
(
) (3)
с общим членом un=cn·xn (un=cn·(x –x0)n) называют степенным рядом.
Множество значений x, при которых ряд (3) сходится, называют областью сходимости степенного ряда.
Структура области сходимости степенного ряда (3) устанавливается теоремой Абеля. Если степенной ряд (3) сходится в точке x=a, то он сходится, и притом абсолютно, во всех точках x, удовлетворяющих условию |x|<|a|. Если степенной ряд (3) расходится в точке x=b, то он расходится во всех точках x, удовлетворяющих условию |x|>|b|.
Таким образом, областью сходимости степенного ряда (3) может быть единственная точка x=0, интервал (–|a|; |a|) или вся числовая прямая (–∞; +∞).
Для определения границ интервала сходимости используется теорема Коши-Адамара. Если областью сходимости степенного ряда (3) является промежуток, отличный от (–∞; +∞), то существует действительное число R такое, что для любого действительного числа x, удовлетворяющего неравенству |x|<R ряд (3) сходится, а для любого действительного числа x, удовлетворяющего неравенству |x|>R ряд (3) расходится. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда (3).
Радиус сходимости степенного ряда может
быть найден по признаку Даламбера как
либо по признаку Коши как
.
Интервал (–R; +R)
называется интервалом сходимости
степенного ряда (3). На концах интервала
сходимости ряд (3) может быть как
сходящимся, так и расходящимся.
Замечание Для степенного ряда интервал сходимости имеет вид (–R+х0; +R+х0).
Степенные ряды обладают следующими свойствами.
1 Равномерная сходимость степенного ряда. Пусть r(0; R), где R – радиус сходимости степенного ряда (3). Тогда этот ряд равномерно сходится на отрезке [–r; r].
2 Непрерывность суммы степенного ряда. На любом отрезке [a; b] из интервала сходимости степенного ряда (–R; +R) его сумма есть функция непрерывная.
3 Интегрируемость суммы степенного
ряда. На любом отрезке [a;
b], содержащемся в
интервале сходимости степенного ряда
(–R; +R),
его сумма есть функция интегрируемая,
причем
.
4 Дифференцируемость суммы степенного
ряда. Сумма степенного ряда (3) есть
функция, дифференцируемая в каждой
точке области сходимости, причем
.
5 Неизменность радиуса сходимости при интегрировании и дифференцировании. Радиус сходимости степенного ряда (3) не меняется при почленном дифференцировании и интегрировании и совпадает с радиусом сходимости исходного ряда.
Ряды Тейлора и Маклорена
Если функция y=f(x), определена и n раз дифференцируема в окрестности точки x0, то она может быть представлена в окрестности этой точки в виде степенного ряда или, иначе, разложена в степенной ряд, т.е. f(x)=С0+С1·(x–x0)+ С2·(x–x0)2+…+Сn·(x–x0)n+…
Можно показать, что С0=f(x0),
С1=f‘(x0)=
,
С2=
,…,
Сn=
,
тогда после подстановки найденных
коэффициентов в выражение для искомой
функции получим
. (4)
Выражение (4) называют разложением функции y=f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x0.
Обозначим
,
тогда величину
называют остаточным членом ряда Тейлора.
При этом величина Rn(x)
есть бесконечно малая величина
относительно (x–x0)n.
Тогда (4) может быть переписана в виде
локальной формулы Тейлора
. (5)
Необходимое и достаточное условия
разложимости функции в ряд Тейлора
устанавливает теорема: если функция
y=f(x)
имеет в некоторой окрестности точки x0
непрерывные производные любого порядка,
и остаток
стремится к нулю при
,
то функция y=f(x)
разложима в этой окрестности точки x0
в ряд Тейлора.
Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена при x0 =0. Он имеет вид
(6)
Разложение функций в ряд Маклорена имеет вид:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
=
5)
=