Задача 3.2

Для заданной схемы балки (рис. 7) требуется написать выражения поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка в общем виде, построить эпюры Q и М, найти М_max и подобрать деревянную балку круглого поперечного сечения при [] = 12 МПа. Данные взять из табл. 3.2.

Рис.7 Задачи 3.2 изгиб блок

Таблица 3.2

Вариант	а,м	b,м	L,м	М,кНм	F,кН	q,кН/м
0	1	1,5	3	5	20	10
1	0,5	1,7	3	5	19	10
2	0,5	1,6	3	8	18	12
3	1	1,5	3	8	17	12
4	0,5	1,5	2,5	10	16	15
5	0,5	1	2,5	19	15	15
6	0,4	0,9	2,5	12	14	20
7	0,6	0,8	2	12	13	20
8	0,5	1,2	2	10	12	8
9	0,6	1	2	12	10	8

Пример 3.2. Для заданной схемы балки, изображенной на рис.7, требуется записать аналитические выражения поперечной силы и изгибающего момента для каждого участка, построить эпюры Q и М, определить опасное сечение и подобрать диаметр круглой деревянной балки при . Данные: F=8 кН, М=7 кНм, g=10 кН/м, а=0,5 м, b=1 м, L=3 м.

Решение. Балки которые жестко заделаны одним концом называются консольными. При построении эпюр Q и М для таких балок реакции в заделки можно не определять. При этом рассматривать балку надо, идя со свободного конца, где известны все внешние силовые факторы.

Построение эпюр Q и М ведем аналогично задаче 3.1, отсчитывая участки справа налево то есть со свободного конца.

Рассмотрим первый участок:

; ;

.

а)

в)

Рис.8. Изгиб консольной балки: а) – балка под нагрузками; б) – эпюра поперечных сил – Q; в) – эпюра изгибающих моментов – M.

Рассмотрим второй участок:

.

Уравнение изменения моментов на втором участке представляют собой кривую второго порядка. Определяем две точки этой кривой в начале и конце участка.

.

Так как эпюра Q пересекает нулевую линию на втором участке, то эпюра моментов в этом сечении принимает экстремальное знание.

Для определения значения Х₂, где эпюра М примет максимальное значение, приравниваем нулю выражение поперечной силы на втором участке.

, ;

.

Третью точку кривой эпюры моментов на втором участке определяем при Х₂=1,8м:

.

Рассмотрим третий участок : .

.

эпюры Q и М представлены на рис.3.2.б и 3.2.в

Подбор сечения ведем из условия прочности при изгибе по нормальным напряжениями:

;

Из эпюры изгибающихся моментов видно, что опасным сечением балки является сечение где М= М^max=18,2кН . Допускаемое напряжение

, отсюда .

Принимаем, d=25см.

Пример 3.3. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, изображенной на рис. 4,а.

Рис.9. Изгиб: а) – балка под нагрузками; б) – балка с отброшенными опорами и нанесенными реакциями опор; в) – эпюра поперечных сил – Q; г) эпюра изгибающих моментов – М.

Решение. Определяем опорные реакции, составляя два уравнения моментов (рис.9,б).

m_A=0; F 2a+m4qa 4a+V_B 5_a=0

или qa 2a+2qa²14qa²+V_B 5_a=0,

откуда V_B=2,4qa;

m_B=0; F 7a+m+4qaa V_A 5_a=0;

qa 7a+2qa²+4qa²5V_A a=0,

откуда V_А=2,6qa.

Для проверки используем уравнение v=0.

F+V_A4qa+V_B=qa+2,6qa 4qa+2,4qa=0,

следовательно, опорные реакции определены правильно.

Заданная балка имеет четыре участка нагружения, границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы или моменты (еще раз подчеркиваем, что реакции относятся к числу внешних сил). Эти участки указаны на рис.4,б).

Начнем с построения эпюры поперечных сил Q.

На участке I распределенная нагрузка отсутствует, следовательно Q₁=const. Величину и знак Q определим, проведя произвольное сечение на этом участке (например, 1-1) и рассматривая равновесие левой отсеченной части (отдельно ее не показываем). Внешней нагрузкой, действующей на левую отсеченную часть, является сила F, стремящаяся повернуть эту часть против хода часовой стрелки, следовательно Q₁ отрицательна.

Q₁=F=qa.

На участке I эпюра Q- прямая параллельная оси абсцисс.

На участке II поперечная сила так же постоянна. На левую отсеченную часть действуют силы F и V_A.

Q_П=V_AF=2,6qa qa=1,6qa.

Заметим, что в сечении над левой опорой на эпюре Q получается скачок на величину силы V_A.

На участке III поперечная сила изменяется по линейному закону.

Значение ее в сечении С известно: Q_C=Q_П=1,6qa. Найдем значение Q в сечении расположенном бесконечно близко слева от В,

=F+V_A3qa=qa+2,6qa 3qa=1,4qa.

Здесь 3qa- равнодействующая той части распределенной нагрузки, которая приложена левее сечения В.

Значение Q для IV участка удобнее определить рассматривая правую отсеченную часть балки.

В сечении D поперечная сила равна нулю (внешних сосредоточенных сил в этом сечении не приложено). Q_IV изменяется по линейному закону и в сечении, взятом бесконечно близко справа от В, равна равнодействующей распределенной нагрузки, приложенной к правой консоли, т.е.

=qa.

Отсекая часть балки (например, проведя сечение 4-4) и рассматривая правую часть, убеждаемся, что приложенные к ней внешние силы стремятся повернуть ее по ходу часовой стрелки, т.е. Q_IV положительна.

Эпюра поперечных сил, построенная по приведенным данным, показана на рис. 9,в.

Переходим к построению эпюры изгибающих моментов М.

На участке I изгибающий момент изменяется по линейному закону. На левом конце балки он равен нулю (здесь не приложен внешний момент). В сечении А

=F 2а=2qa².

Знак минус поставлен потому, что эта часть балки изгибается выпуклостью вверх, т.е. сжатые волокна находятся снизу.

На участке II М также изменяется по линейному закону. В сечении, взятом бесконечно близко слева от С имеем

=F 4а+V_A 2а=qa 4а+2,6qa 2а=1,2qa².

В этом сечении на эпюре М получается скачок на величину приложенного здесь внешнего момента.

В сечении, проведенном бесконечно близко справа от С,

=F 4а+V_A 2аm=qa 4а+2,6qa 2а2qa²=0,8qa².

Остальные значения М целесообразнее определять, рассматривая правую отсеченную часть балки.

В сечении на правом конце балки М_D=0 (нет внешнего момента). На участке IV изгибающий момент изменяется по закону квадратной параболы. Правая консоль изгибается так, что сжатые волокна находятся внизу, т.е. изгибающий момент отрицателен. Изгибающий момент в сечении В равен моменту относительно точки В равнодействующей распределенной нагрузки, приложенной на консоли, т.е.

.

Параболу строим по двум найденным значениям М_IV, учитывая при этом, что на правом конце касательная к эпюре горизонтальна, так как в этом сечении Q=0.

На участке III построим эпюру М по трем точкам. Две из них уже определены- известны значения и М_В. В сечении К поперечная сила равна нулю, следовательно эпюра М в этом месте экстремум. Положение сечения К определим, учитывая, что эпюра Q на участке III линейна и ее нулевая точка делит отрезок CB, равный 3а, в отношении 1,6 к 1,4.Беря относительно точки К сумму моментов сил, приложенных справа от нее получаем

.

Эпюра М изображена на рис. 9,г.

Можно построить эпюры Q и М несколько иным способом, а именно, составив предварительно уравнения, дающие законы изменения Q и М для каждого из участков. Принимая начало координат на левом конце балки, получаем следующие уравнения

Участок I (0 z2a)

Q₁=qa;

M₁=qaz.

Участок II (2a z4a)

Q_П=qa+2,6qa=1,6qa;

M_П=qaz+2,6qa(z2a).

Участок III (4a z7a)

=qа+2,6qаq(z4а)=1,6qaq(z4а);

=qаz+2,6qа(z2а) 2qa².

Участок IV (7a z8a)

=qа+2,6qаq(z4а)+2,4qa=4qaq(z4а);

=qаz+2,6qа(z2а) 2qa²+2,4qa(z7a).

Пример 3.4. Для заданной на рис.10 стальной балки требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, подобрать три типа поперечных сечений и сравнить вес балок. _adm=160Мпа

Рис.10. Изгиб балки: а) – балка с отброшенными опорами и нанесенными реакциями опор; б) – эпюра поперечных сил – Q; в) – эпюра изгибающих моментов – M.

Решение. Определим реакции, составив два уравнения моментов (рис.10.а)

m_a=0;

m_b=0;

Для проверки используем уравнение

у = 0 V_A + V_B – F = 17,5 + 17,5 – 35 = 0

Следовательно, опорные реакции определены правильно.

Зная реакции строим эпюры поперечных сил (рис. 10.б) и изгибающих моментов (рис. 10.в)

Опасным является сечение балки под силой F

M_max = 35 кН м.

Требуемый момент сопротивления поперечного сечения определяем из условия прочности при изгибе

В случае круглого сечения

;

.

В случае прямоугольного сечения (при h=2b)

h=2b = 269 = 138мм;

А_пр= b h = 6,913,8 = 95,2(см²).

Номер двутаврового сечения, имеющего момент сопротивления, близкий к требуемому, определяем по таблице сортамента (ГОСТ 8239-89).

Принимаем двутавр №22, имеющий Wx = 232 см³ и А_qb = 30,6 см².