Обратная функция

Обратная функция – частный случай понятия обратного отображения. Если задана функция , обладающая тем свойством, что любое своё значение она принимает при единственном значении , то это даёт возможность рассматривать обратную функцию , такую, что равенства и равносильны . Примером служат функции . Ясно, что обе функциональные зависимости, и определяют одну и ту же кривую на плоскости. Часто рассматривают функцию ( и именно эту функцию называют обратной). График такой функции получается из графика функции отражением относительно биссектрисы первого координатного угла.

Теорема. Пусть функция возрастает (убывает) на промежутке . Тогда на промежутке , представляющем собой множество её значений, определена обратная функция , которая также возрастает(убывает) и непрерывна.

Равномерная непрерывность

Определение. Пусть функция определена на некотором множестве . Функция называется равномерно непрерывной на множестве , если для любого числа существует такое число , что для всех и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Замечание. Есть важное различие между понятиями равномерной непрерывности на множестве и непрерывности на этом множестве. Из равномерной непрерывности следует непрерывность, но не наоборот. В определении равномерной непрерывности содержится сильное требование о том, чтобы входящее в определение число зависело только от числа . В обычном определении непрерывности на множестве ( определение 16.1) это число зависит не только от числа , но ещё и от точки . Поэтому возможно, что общего значения числа , одновременно пригодного для всех , найти не удастся. Однако если в качестве множества рассматривается отрезок числовой оси, то верна такая теорема.

Теорема.(Кантор) Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке.

Замечание. Функция, непрерывная на интервале , не обязательно равномерно непрерывна на нём. Пример: функция , непрерывная на интервале , не равномерно непрерывна на этом интервале. Для доказательства выберем и для любого рассмотрим точки . При этом , но .

ФУНКЦИИ И ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПРЕДЕЛ, НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Определение .Функция сопоставляет элементам множества ( называемого областью определения) числа .

Определение. Отображение сопоставляет элементам множества элементы .

Таким образом, функция – это частный случай отображения . Задать отображение – это все равно, что задать функций

Примеры.

1. - функция двух переменных, паре сопоставляет число .

2. Отображение

3. Вектор-функция Винтовая линия.

Определение. Пусть - предельная точка области определения . Определим предел отображения

Это определение в метрических пространствах принимает вид , или, для

Или

выполняется неравенство

Теорема. .

Определение . Отображение непрерывно в точке , если

Согласно сказанному выше, непрерывность отображения равносильна непрерывности всех функций .

Так же, как и в случае функций одной переменной, справедлива следующая теорема.

Теорема. Если , то , , и если , то .

Следствие. Сумма, разность, произведение и частное ( при ) непрерывных функций и являются непрерывными функциями.

Пример. Функция Кобба-Дугласа имеет вид , где - величина произведённого продукта, - затраты труда, - объём производственных фондов, - положительные коэффициенты. Она непрерывна по совокупности переменных при неотрицательных значениях аргументов.

Теорема . Если непрерывно в точке , отображение непрерывно в точке , то отображение непрерывно в точке .

Теорема. (Теорема о сохранении знака непрерывной функции). Если то .

Теорема. Непрерывный образ компактного множества есть компактное множество.

Замечание. Эта теорема непосредственно обобщает теоремы о том, что непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает наибольшего и наименьшего значений.

Теорема.. Непрерывный образ связного множества (т.е. множества, любые 2 точки которого можно соединить кривой, целиком лежащей внутри этого множества) есть связное множество.

Замечание. Эта теорема обобщает теорему о том, что непрерывная на отрезке функция принимает все свои промежуточные значения.

Теорема. (Теорема Кантора). Непрерывная на компакте функция равномерно непрерывна на нем, т.е. .

18