Хорда окружности обладает следующими свойствами

1. Хорды, находящиеся на одинаковом расстоянии от центра окружности, равны.

2. Если хорды стягивают равные центральные углы, то они равны.

3. Если диаметр перпендикулярен хорде, то он проходит через ее середину.

4. Если вписанные углы опираются на одну хорду, то они равны.

5. Две дуги равны, если они заключены между двумя равными хордами.

6. Если пара вписанных углов опирается на одну и ту же хорду, а их вершины лежат по разные стороны хорды, то их сумма составляет 180°.

7. Для любых двух хорд   и  , пересекающихся в точке О, выполняется равенство:  .

Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной (на рисунке отрезок  ).

Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей (отрезок  ).

4Свойство биссектрисы треугольника

Рассмотрим свойство биссектрисы треугольника с доказательством и задачу на применение свойства.

Теорема (Свойство биссектрисы треугольника)

Биссектриса треугольника делит третью сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

  

Дано: ∆АВС, АР — биссектриса.

Доказать:

  

 

Доказательство:

I. Если АС=АВ, то биссектриса АР является также медианой, СР=ВР, и

  

II.Если АС≠АВ.

1) Опустим перпендикуляры BN и CF на луч AP.

2) Прямоугольные треугольники ABN и ACF подобны по острому углу (∠BAP=∠CAP, так как AP — биссектриса ∠BAC (по условию)), следовательно,

  

3) Прямоугольные треугольники BNP и CFP  подобны по острому углу (∠BPN=∠CPF (как вертикальные)), следовательно,

  

  

  

Если средние члены пропорции поменять местами, пропорция останется верной, поэтому

  

Что и требовалось доказать.

Задача.

Стороны треугольника равны 10 см, 11 см и 12 см. Найти отрезки, на которые делит биссектриса треугольника среднюю сторону.

Дано: AC=10 см, BC=11 см, AB=12 см, AP = биссектриса.

Найти: CP и BP.

Решение:

По свойству биссектрисы треугольника:

  

  

Пусть CP=x см, тогда BP=11-x см:

  

откуда по основному свойству пропорции

  

  

  

CP=5 см, BP=6 см.

Ответ: 5 см, 6 см.

6

Свойства высот треугольника

свойства высоты в треугольнике

Свойство 1 Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке - ортоцентре треугольника.

Свойство 2 Если AD, BE, CF - высоты треугольника ABC, O - точка пересечения этих высот или их продолжений, то: 

Свойство 3 Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника, подобных между собой и подобных исходному треугольнику: 

Свойство 4

Высота на сторону c вычисляется по формулам: 

Свойство медиан треугольника

Свойство медиан треугольника

Свойство медиан треугольника может быть доказано многими способами. Доказательство, опирающееся на свойства параллелограмма и средней линии треугольника, может быть проведено сразу же после изучения соответствующих тем, что позволяет начать использовать свойство медиан треугольника уже с  начала 8 класса.

Теорема

(Свойство медиан треугольника)

Медианы треугольника пересекаются и в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Дано: ABC, AA1, BB1, CC1 — медианы

Доказать:

  

  

Доказательство:

 

1) Пусть M — середина отрезка AO, N — середина BO

(то есть AM=OM, BN=ON).

2) Соединим точки M, N, A1 и B1 отрезками.

Тогда MN — средняя линия  треугольника AOB и

  

3) Так как AA1 и BB1 — медианы треугольника ABC, точка A1- середина отрезка BC, B1 — середина AC.

Следовательно, A1B1 — средняя линия треугольника ABC и

  

4) Имеем:

  

Значит, четырёхугольник MNA1B1 — параллелограмм (по признаку).

По свойству диагоналей параллелограмма

  

Таким образом,

  

  

  

из чего следует, что

  

5) Доказательство того факта, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке, будем вести методом от противного.

Предположим, что третья медиана CC1 треугольника ABC пересекает медианы AA1 и BB1 в некоторой точке, отличной от точки O.

Тогда на каждой медиане есть две различные точки, делящие её в отношении 2:1, считая от вершины. Пришли к противоречию.

Таким образом, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и точка пересечения медиан делит каждую из их в отношении 2:1, считая от вершины:

  

Что и требовалось доказать.

9.Свойство средней линии треугольника и трапеции. Длина отрезка между серединами диагоналей трапеции.

Диагональ трапеции делит среднюю линию на отрезки

Как решать задачи, в которых диагональ трапеции делит ее среднюю линию на отрезки?

Как правило, такие задачи сводятся к рассмотрению двух треугольников.

Задача 1.

Диагональ трапеции делит ее среднюю линию на отрезки длиной c и d. Найти основания трапеции.

Дано: ABCD — трапеция,

AD ∥ BC, MN — средняя линия,

MN∩AC=K, MK=c, KN=d.

Найти: AD, BC.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник ACD.

СN=DN и KN ∥ AD (так как по условию MN — средняя линия трапеции).

Следовательно, по теореме Фалеса, AK=KC.

Значит, KN — средняя линия треугольника ACD.

По свойству средней линии треугольника,

  

2) Рассмотрим треугольник ABC.

AM=MB (так как MN- средняя линия трапеции), AK=KC (по доказанному). Следовательно, MK — средняя линия треугольника ABC,

  

Ответ: 2c, 2d.

Вывод:

Диагональ трапеции делит ее среднюю линию на отрезки, равные половинам оснований.

Задача 2.

Основание AD трапеции ABCD на 6 см больше основания BC, а средняя линия равна 7 см. Найти длины отрезков, на которые диагональ AC делит среднюю линию.

Решение:

Рисунок — как и в задаче 1.

Пусть BC=x см, тогда AD=x+6 см.

По доказанному выше,

  

  

  

  

  

  

  

Ответ: 2 см, 5 см.

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называют такой отрезок, который соединяет середины двух сторон данного треугольника.

В каждом треугольнике есть три средние линии, которые образуют еще один новый треугольник, расположенный внутри.

Вершины вновь образованного треугольника находятся на срединах сторон данного треугольника.

В каждом треугольнике есть возможность провести три средние линии.    Теперь давайте более детально остановимся на этой теме. Посмотрите на рисунок треугольника вверху. Перед вами треугольник АВС, на котором проведении средние линии. Отрезки MN, MP и NP образуют внутри данного треугольника еще один треугольник MNP.

Свойства средней линии треугольника

Каждая средняя линия треугольника, соединяющая середины его сторон, обладает следующими свойствами:

1. Средняя линия треугольника параллельна его третей стороне и равна её половине.

Таким образом, мы видим, что сторона АС параллельна MN, которая в два раза меньше, чем сторона АС.

 

2. Средние линии треугольника делят его на четыре равных треугольника.

Если мы посмотрим на треугольник АВС, то увидим, что средние линии MN, MP и NP разделили его на четыре равных треугольника, и в итоге образовались треугольники MBN, PMN, NCP и AMP.

3. Средняя линия треугольника отсекает от данного треугольника подобный, площадь которого равняется одной четвертой исходного треугольника.

Так, например, в треугольнике АВС средняя линия MP отсекает от данного треугольника, образуя треугольник AMP, площадь которого равна одной четвертой треугольника АВС.

10Трапеция: теорема о четырех точках.

Точки на сторонах треугольника

Прежде чем перейти к решению следующей задачи вспомним ещё несколько теорем планиметрии.

Теорема о четырех замечательных точках в трапеции.

В любой трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Теорема Фалеса.

Если стороны угла пересечены параллельными прямыми, то отрезки, отсекаемые ими на одной стороне этого угла, пропорциональны соответственным отрезкам, отсекаемым ими на другой его стороне.

Обратная теорема Фалеса.

Если на одной стороне угла от его вершины O отложены отрезки OA, AB, BC, ... и на другой его стороне также от вершины O отложены соответственно пропорциональные им отрезки OA₁, A₁B₁, B₁C₁, ... (OA/OA₁= AB/AB₂= BC/BC₂=k), то прямые AA₁, BB₁, CC₁, - параллельны.

Тренировочная работа №10 задание 16.

Точки В₁ и С₁ лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника ABC, причем АВ₁: В₁С = АС₁: С₁В. Прямые ВВ₁ и СС₁ пересекаются в точке О.

а) Докажите, что прямая АО делит пополам сторону BC.

б) Найдите отношение площади четырехугольника АВ₁ОС₁ к площади треугольника ABC, если известно, что АВ₁: В₁С = АС₁: С₁В = 1:4.

Решение:

а) Так как точки В₁ и С₁ делят стороны треугольника в одинаковых отношениях, то по теореме обратной теореме Фалеса прямая В₁С₁ всегда будет параллельна BC. Отсюда следует, что четырёхугольник  ВСВ₁С₁ – трапеция. По теореме о четырех точках трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения боковых сторон лежат на одной прямой. Таким образом, прямая АО проходит через середины оснований трапеции ВСВ₁С₁.

б) Треугольник АВ₁С₁ подобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия 1/5, следовательно, его площадь будет составлять 1/25 площади треугольника АВС или S/25. Тогда площадь трапеции ВСВ₁С₁ составляет 24/25 площади треугольника АВС, то есть 24S/25.   Высота треугольника ВВ₁С₁, проведённая к стороне В₁С₁, равна высоте треугольника ВВ₁С, проведённой к стороне ВС. Поскольку В₁С₁в пять раз меньше ВС, то площадь треугольника ВВ₁С₁в пять раз меньше, чем площадь треугольника ВВ₁С₁. Обозначим площадь треугольника ВВ₁С₁ – х, тогда площадь треугольника ВВ₁С – 5х. 

Значит, х + 5х = 24S/25,  6х = 24S/25, х = 4S/25. То есть

площадь треугольника ВВ₁С₁ равна 4S/25,

площадь треугольника ВВ₁С равна 20S/25.

Рассмотрим треугольники ВСС₁ и ВСВ₁. Так как у них общее основание – ВС, и одинаковая высота, то их площади равны. В состав каждого из них входит треугольник ОВС, поэтому площади треугольников ВВ₁С₁ и СВ₁С₁ равны, пусть они равны р.

Треугольники ОВ₁С₁ и ОВС подобны с коэффициентом подобия 1/5. Если обозначим площадь треугольника ОВ₁С₁ через а, то площадь треугольника ОВСравна 25а.

Так как площадь треугольника ВВ₁С₁ равна сумме площадей треугольников ВОС и В₁ОС, получаем 4S/25 = а +р.

Так как площадь треугольника ВВ₁С равна сумме площадей треугольников ОВ₁С₁ и ВОС₁, получаем 20S/25 =25 а +р. Вычитая из этого равенства предыдущее, получаем

16S/25 =24а.  Отсюда а = 2S/75.

Площадь четырехугольника АВ₁ОС₁ = S/25 +2S/75 = S/15

Ответ: 1:15.

11Вывод формул площадей параллелограмма, треугольника и трапеции.

Площадь треугольника, трапеции, параллелограмма

• Площадь треугольника равна половине произведения  основания треугольника на высоту.

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы его оснований на высоту.

• Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Используя рисунки выше, необходимо вспомнить, как доказывается утверждение, что «Если а является основанием треугольника, h — проведенная к нему высота, S — площадь треугольника, то

.

С помощью рисунка выше вспомните доказательство утверждения: «Если а и b — основания трапеции, h — ее высота, S — площадь трапеции, то 

Используя данное утверждение о площади трапеции и рисунок ниже, вспомните доказательство утверждения: «Если а — основание параллелограмма, h — проведенная к нему высота, S — площадь параллелограмма, то S = ah».