Вопросы и задания

1. Как можно изменить значения частот режекции сигнала для трансверсального фильтра первого порядка?

2. Составить компьютерную программу для расчета АЧХ и ФЧХ трансверсальных фильтров первого и второго порядков.

3. Составить компьютерную программу, реализующую трансверсальный фильтр первого порядка. В качестве первичного сигнала использовать БГШ. На графике отображать осциллограмму фильтрованного сигнала и его частотный спектр.

2. Рекурсивные цифровые фильтры

Алгоритм работы рекурсивного цифрового фильтра можно описать с помощью формулы

, (11)

где  - время задержки входного сигнала в одном звене фильтра, X(t) – входной сигнал, Y(t) –выходной сигнал, a_i – коэффициенты фильтра.

Согласно (11) выходное напряжение рекурсивного фильтра равно взвешенной сумме n+1 входных напряжений и m выходных напряжений, каждое из которых задержано на целое число тактов . Числа n и m в (11) определяет порядок рекурсивного цифрового фильтра.

Схему рекурсивного фильтра можно рассматривать как совокупность последовательно соединенных трансверсального фильтра n-го порядка и рекурсивного фильтра порядка m. Полученный при этом фильтр можно представить в виде канонической схемы, изображенной на рис.6. Особенностью такой схемы является совместное использование линий задержки для цепей трансверсальной и рекурсивной цепей. Такое построение снижает затраты на реализацию и повышает быстродействие фильтра.

- 114 -

Рис.5. Схема рекурсивного цифрового фильтра.

- 115 -

Рис.6. Каноническая схема рекурсивного цифрового фильтра n-го порядка.

Расчет комплексного коэффициента передачи

рекурсивного фильтра (n+m)-го порядка

Выходное напряжение рекурсивного фильтра согласно (11) и (2)

. (13)

Из (13) и(2) комплексный коэффициент передачи рекурсивного фильтра n-го порядка равен

. (14)

Согласно (14) комплексный частотный коэффициент передачи рекурсивного фильтра представляет собой периодическую функцию по частоте. Период изменения коэффициента передачи по частоте f равен

- 116 -

Расчет ачх и фчх рекурсивного фильтра первого порядка

Рис.7. Схема рекурсивного цифрового фильтра первого порядка.

Согласно (14) комплексный коэффициент передачи рекурсивного фильтра первого порядка, изображенного на рис.7, равен

. (15)

Найдем АЧХ ЦФ первого порядка

. (16)

Наибольший интерес для практических приложений представляют случаи a₀=1 и b₁ вблизи -1 и 1. Соответствующие этим значениям АЧХ представлены на рис.8 и 9. Как видно из приведенных АЧХ, подобные схемы могут быть использованы соответственно как фильтры верхних и нижних частот.

Фчх рекурсивного фильтра первого порядка

Фазово-частотная характеристика рекурсивного ЦФ первого порядка может быть получена из выражения (15)

. (17)

- 117 -

Рис.8. АЧХ рекурсивного фильтра 1-го порядка при a₀=1, b₁=-0.9. В полосе 0 – 1/2Т реализован фильтр верхних частот ФВЧ.

Рис.9. АЧХ рекурсивного фильтра 1-го порядка при a₀=1, b₁=0.9. В полосе 0 – 1/2Т реализован фильтр нижних частот ФНЧ.

- 118 -

3. Дискретное преобразование Фурье

При использовании численных методов спектрального анализа непрерывных сигналов, заданных на конечном временном интервале T, эти сигналы подвергают дискретизации во времени. Чаще всего используется постоянный интервал дискретизации t. Отсчетные значения после преобразования в цифровую форму записывают в виде временного ряда в некоторый массив x[i]. Далее определяют коэффициенты разложения. Если ряд Фурье задан в комплексной форме, то для коэффициентов разложения c_n непрерывного процесса x(t) справедливо соотношение (1)

. (1)

Для дискретного во времени процесса выражение (1) должно быть преобразовано следующим образом.

1. Вместо интеграла должна быть использована интегральная сумма.

2. Интервал времени усреднения .

3. k-е отсчетное значение будет соответствовать текущему времени . С учетом этих замечаний

. (2)

Формула (19) определяет дискретное преобразование Фурье (ДПФ) в области комплексных чисел.

В области действительных чисел формулы ДПФ могут быть определены следующим образом

. (3)

. (4)

Индекс k определяет порядковый номер отсчетного значения x[i].

Коэффициенты a_n b_n позволяют получить оценку составляющих спектральной плотности мощности СПМ.

, (5)

- 119 -

Согласно (3-5) при нахождении каждого значения S_n приходится 2N раз вычислять значения тригонометрических функций. В практических приложениях число N отсчетных значений редко бывает меньше 1024. При этом время вычисления амплитуды каждой гармоники может достигать долей секунды, т.к. вычисление тригонометрических функций является относительно медленной операцией. Обычно ДПФ осуществляется для всех гармоник, т.е. при n=0, 1, 2,...N/2. В этом случае общее время вычисления СПМ по одному массиву может составлять десятки секунд, что является неприемлемым для расчетов в реальном масштабе времени, а также при получении состоятельных оценок СПМ случайных сигналов, т.к. для получения необходимой статистической точности каждую из гармоник приходится усреднять по нескольким десяткам реализаций.

В современных компьютерах процессор оснащен математическим сопроцессором, который существенно сокращает время вычисления гармонических функций. Если в вычислительном устройстве такого сопроцессора нет, то для сокращения времени вычисления тригонометрических функций целесообразно использовать следующие рекуррентные формулы

(6)

, (7)

где . В компьютерах, не оснащенных математическими сопроцессорами, применение (6) (7) позволяет сократить время вычисления ДПФ в 4-6 раз.

Проведем оценку диапазона анализируемых частот с помощью ДПФ. Частота f_n самой низкочастотной гармоники определяется интервалом времени усреднения

, (8)

где f_d - частота дискретизации случайного процесса.

Частота f_в самой высокочастотной анализируемой гармоники согласно теореме Котельникова равна половине частоты дискретизации

. (9)

Сопоставление (9) и (10) показывает, что

. (10)

- 120 -

Таким образом, при проведении ДПФ для выборки случайного процесса объемом N целесообразно вычислять и отображать только N/2 гармоник, хотя чисто формально ДПФ позволяет вычислять N гармоник.

Далее приведен текст программы дискретного преобразования Фурье применительно к m-связным случайным последовательностям. Программа осуществляет следующие операции:

1) Задание начальных параметров вычислений (N, m);

В цикле repeat осуществляются следующие операции:

2) расчет и занесение в массив x[i] N отсчетных значений Марковского случайного процесса с детерминированной заменой составляющих (процедура Markov);

3) построение нормированного графика Марковского случайного процесса;

4) Выполнение дискретного преобразования Фурье с занесением в массивы a[j], b[j] компонент ДПФ;

5) Вычисление спектральной плотности мощности в массиве s[i];

6) Построение нормированного графика СПМ в двойном логарифмическом масштабе. Применение такого масштаба позволяет существенно повысить точность отображения СПМ в области малых значений аргумента (частоты) и самой функции.

Завершение цикла repeat происходит по нажатию любой клавиши.

Основными и принципиальными недостатками программы ДПФ является следующее:

1. Нерациональное использование объема памяти.

2. Низкое быстродействие вычисления ДПФ.