4. Расчёт характеристик профиля Kanya «ma1-5» при кручении

Для расчета прочности и жесткости необходимы характеристики профиля при кручении, поскольку рама работает на изгиб и кручение. Производителем характеристики профиля при кручении не приведены, поэтому необходимо их определить.

1. Допущения

Упругие свойства материала (сплав 6063) [2]:

• Материал предполагается линейным изотропным и однородрным;

• коэффициент Пуассона ν=0,33;

• модуль Юнга Е= 69 000 МПа.

Физические допущения:

Расчет распределения касательных напряжений в поперечном сечении и равнодействующего момента проводится для свободного кручения. При свободном кручении внешние закрепления не мешают поперечному сечению профиля искривляться (депланировать). Реальное состояние стержней может быть ближе к стеснённому кручению в зависимости от жесткости стыков и распределения контактных осевых напряжений на поперечных сечениях стыков стержней. Погрешность допущения о свободном кручении увеличивает запас прочности.

Математическое описание задачи свободного кручения:

При расчетах характеристик стержня при кручении используется система координат сечения XY (Рисунок 3, рассматривается с учётом симметрии ¼ от всего сечения).

Рисунок 3. Система координат поперечного сечения стержня

Расчет распределения касательных напряжений при свободном кручении проводится на основании уравнений теории упругости, описанных С.П. Тимошенко [3].

Касательные напряжения в поперечном сечении определяются по величине функции напряжений φ

(2)

Функция напряжений описывается дифференциальным эллиптическим уравнением второго порядка

(3)

где Δ – оператор Лапласса, Θ- крутка стержня, G - модуль упругости второго рода. Решение уравнения (3) отыскивается при следующих граничных условиях:

(4)

где - величина функции напряжений на внешнем контуре, -величина функции напряжений на i-том внутренем контуре, -константа определяемая для каждого контура из условия

(5)

где - производная функции напряжений по нормали к контуру, A_i- площадь ограниченная i-тым контуром, - циркуляция по i-тому контуру.

По результатам расчета может быть определён крутящей момент, соответствующей состоянию данного стержня с круткой Θ, и характеристика стержня при кручении второго рода J_K

(6)

Кроме того может быть определено максимальное касательное напряжение и момент сопротивления кручению W_k

(7)

Множитель «4» в выражениях (6) и (7) связан с тем, что момент, действующий на все сечение в 4 раза больше M_K, определённого для части сечения.

2. Реализация расчёта

С учётом симметрии для сокращения расчетов взята ¼ сечения с заданием на границах разъёма граничного условия симметрии функции напряжений φ. Расчёт проводился методом конечных элементов в программе Comsol Multyphisics. φ(x,y).

3. Сетка конечных элементов

На рисунке Рисунок 4 представлена сетка конечных элементов, использованная для расчёта. Сетка сгенерирована автоматическим образом.

Рисунок 4. Использованная сетка конечных элементов

4. Распределение функции напряжений φ(x,y)

На рисунке Рисунок 5 представлено полученное распределение функции напряжений на поверхности сечения профиля φ(x,y).

Рисунок 5. Функция напряжений φ(x,y), используемая для определения касательных напряжений τ

5. Распределение касательных напряжений

На рисунке Рисунок 6 представлены векторное поле касательных напряжений и , а также цветом отмечены максимальные касательные напряжения.

Рисунок 6. Результаты расчёта напряжений

Максимальное по модулю напряжение = 87,1 МПа достигается в одной точке во внутреннем угле контура, что связано с концентрацией напряжений и малой толщиной стенки в данной точке. При дроблении сетки напряжение в этой точке возрастает при сохранении напряжений в других частях профиля. Данное явление можно объяснить локальной сингулярностью касательных напряжений. Скорее всего, в этой точке будут происходить локальные пластические деформации которые не сильно повлияют на прочность конструкции. Для расчета взяты максимальные напряжения в остальных областях = 50 МПа.

Наибольшие напряжения возникают на внутренних тонких перегородках профиля, там, где напряжения от изгиба не будут максимальными. Также достаточно велики касательные напряжения на центральной внешней верхней полке.

Из-за особенностей расположения опор профиль должны быть повернут так, чтобы изгиб происходил относительно оси Y (Рисунок 2, Рисунок 3). При этом напряжения от изгиба на центральной внешней верхней полке будут весьма малы.