Приложение Применение правила Лопиталя для вычисления пределов

Сформулируем правило Лопиталя:

Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных (если последний предел существует):

.

Правило Лопиталя можно применять только в случае наличия неопределенности или . Для того, чтобы использовать правило Лопиталя в других неопределенностях, необходимо предварительно эти неопределенности преобразовать к неопределенности или .

Рассмотрим примеры.

1.

Рассмотренный пример иллюстрирует тот факт, что правило Лопиталя допустимо применять несколько раз, если отношение производных также представляет собой неопределенность вида или .

2. .

Приведенные выше пределы могут быть вычислены не только по правилу Лопиталя, но и путем элементарных преобразований. Рассмотрим примеры, решение которых существенно упрощается с использованием правила Лопиталя.

3. .

4. .

5.

С помощью правила Лопиталя можно раскрывать неопределенности вида и , предварительно преобразовав их к неопределенности или :

6. .

7.

В некоторых примерах применение правила Лопиталя не дает результата, так как предел отношения производных или не существует, или взятие производных не избавляет от неопределенности. В этих случаях предел можно попытаться вычислить с помощью элементарных преобразований:

8. - предел отношения производных не существует, поскольку очевидно, что не существует. Тем не менее, исходный предел существует и вычисляется, если в числителе и знаменателе дроби вынести за скобки множитель :

9. .

При вычислении предела используется теорема о том, что произведение бесконечно малой величины на ограниченную есть величина бесконечно малая.

Правило Лопиталя используется также при раскрытии неопределенностей вида

. При этом предварительно необходимо применить основное логарифмическое тождество: , а затем неопределенность привести к виду

или :

10. .

Тогда по правилу Лопиталя:

Рассмотрим пример, в котором возникает неопределенность .

11.

По правилу Лопиталя далее получим:

И, наконец, рассмотрим пример, где встречается неопределенность .

12. . Далее по правилу Лопиталя имеем:

.