Примеры для самостоятельного решения.

Найти оригинал изображения

1) ;	5) ;
2) ;	4) ;
3) ;	6) .

Ответы.

1) ;	5) ;
2) ;	4) ;
3) ;	6) .

П.4. Нахождение оригиналов с помощью теоремы запаздывания.

Е

сли изображение имеет вид рациональной дроби, умноженной на , где , то сначала надо найти оригинал от рациональной дроби, а затем применить теорему запаздывания.

Пример1. Найти оригинал следующего изображения:

Найдем сначала оригинал для дроби .

Разложим эту дробь на простейшие и найдем коэффициенты методом неопределенных коэффициентов

При получим

При получим

При получим

,

оригинал равен , а оригинал данного .

Примеры для самостоятельного решения. Найти оригиналы следующих изображений:

1. ; 2) ; 3) ;

4)

Ответы:

§ 11. Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Принцип решения рассмотрим на примере решения уравнения второго порядка. Пусть требуется решить задачу Коши:

.

Пусть , а f(t) F(p), тогда ,

Применим к обеим частям этого уравнения преобразование Лапласа, уравнение примет вид:

или .

Это уравнение является алгебраическим, линейным относительно . Решив его, получим .

Теперь по найденному изображению можно восстановить соответствующий ему оригинал x(t),т.е. найти решение данного дифференциального уравнения. Легко заметить, что в знаменателях обеих дробей стоит характеристический многочлен исходного уравнения, и что простой вид приобретает, если начальные условия задачи Коши нулевые.

Пример 1. Решить задачу Коши .

Решение.

Обозначим через изображение искомого решения, тогда , а , а изображение данного уравнения имеет вид , откуда .

Оригинал данного изображения x(t)=2t²-1,и это и есть решение данного уравнения.

Пример 2. Решить задачу Коши.

Решение.

Пусть - изображение искомого решения x(t), тогда , , а .

Таким образом, изображение исходного уравнения имеет вид , отсюда .

Используя таблицу основных изображений и таблицу сверток, получаем, что Пример 4. Решить задачу Коши.

Решение.

П

усть – изображение решения x(t) данного уравнения, тогда , .

Таким образом, изображение исходного уравнения имеет вид : , следовательно , отсюда ;

;

, т.о. по таблице изображений и теореме запаздывания получаем, что

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте алгоритм решения дифференциального уравнения

Примеры для самостоятельного решения. Решить задачу Коши.

Ответы

§ 12. Применение операционного исчисления к решению систем линейных дифференциaльных уравнений.

Системы линейных дифференциальных уравнений решаются аналогично тому, как решаются дифференциальные уравнения.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Найти решение системы.

.

Пусть , а , , изображение системы имеет вид :

или

Найдём решение этой линейной системы по формулам Крамера :

, отсюда

, отсюда

Примеры для самостоятельного решения.

Операторным методом решить систему дифференциальных уравнений.

1) ; 2) ;

3)

4)

Ответы:

1) ; 2)

3) ; 4)

Таблица оригиналов и изображений.

N			N
1			14
2			15
3			16
4	, -целое, пол.		17
5			18
6			19
7			20
8			21
9			22
10			23
11			24
N			N
12			25
13			26
27			32
N			N
28			33
29			34
30			35
31			36

Таблица сверток оригиналов.

1		19
2		20
3		21
4		22
5		23
6		24
7		25
8		26
9		27
10		28
11		29
12		30
13		31
14		32
15		33
16		34
17		35
18		36
37		45
38		46
39		47
40		48
41		49
42		50
43		51
44