Задание № 9.

Исследовать на сходимость ряд.

Пример решения задачи из задания № 9.

Исследуем сходимость знакоположительного ряда

Решение.

Воспользуемся признаком Даламбера. Пусть для знакоположительного ряда существует предел отношения последующего члена к предыдущему

тогда

1. если то данный ряд сходится,

2. если то данный ряд расходится,

3. если , то данный признак не дает ответа: ряд может как сходиться, так и расходиться. Требуется дополнительное исследование. Итак,

,

.

Так как то ряд - сходится.

Задание № 10.

Найти область сходимости функционального ряда.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

Пример решения задачи из задания №10.

Для решения задач этого раздела можно использовать признаки сходимости Даламбера или Коши. Согласно признаку Даламбера, для абсолютной сходимости ряда   достаточно, чтобы .

Рассмотрим пример: пусть имеется функциональный ряд

Найдем предел дроби

:

.

Если , то ряд будет сходящимся. Откуда следует . Таким образом, область сходимости ряда включает интервал (0, 2). Проведем дополнительное исследование для случая, когда x = 0 или x = 2, т.е. . В этих случаях получаем числовой ряд

Этот ряд, очевидно, расходится, т.к. не выполняется необходимый признак сходимости

Поэтому окончательный ответ – исходный ряд сходится для .

Рекомендуемая литература

Основная литература

1. Красс, М.С. Математика для экономистов.- СПб,2007. РМО

2. Ильин, В.А. Математический анализ: Учеб. в 2-х ч./Под ред. А.Н. Тихонова.- М., 2004. УМО

3. Кудрявцев, Л.Д. Краткий курс математического анализа. В 2-х Т.- М., 2003. РМО

4. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие.- СПБ, 2008.

5. Красс, М.С. Математика для экономистов: учеб. пособие.- СПб: Питер,2010.УМО

Дополнительная литература

1. Высшая математика для экономистов: Учеб.-/Н. Ш. Кремер.-М.,2010. УМО

2. Ильин, В.А. Высшая математика: Учеб.- М., 2009. РМО

3. Письменный, Т.Д. Конспект лекций по высшей математике.- М., 2007

4. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. – М.,2009. Ч.1-2.

5. Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В. Математика в экономике. Учебник. В 2-х частях. - М.: Финансы и статистика, 2006. - 384с.

Примерный перечень вопросов к экзамену по математическому анализу.

1. Понятие функции, общие свойства, график функции.

2. Предел функции в точке и на бесконечности.

3. Бесконечно малая и бесконечно большая, их свойства.

4. Основные теоремы о пределах.

5. Первый замечательный предел.

6. Последовательность, предел последовательности. Теорема Вейерштрасса (о пределе монотонной ограниченной последовательности).

7. Второй замечательный предел. Число e, натуральные логарифмы.

8. Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций.

9. Производная. Геометрический и механический смысл производной.

10. Производная суммы, произведения, частного, сложной функции.

11. Таблица производных (вычисление производных элементарных функций).

12. Дифференциал функции, его свойства.

13. Производные и дифференциалы высших порядков.

14. Теоремы Ферма и Ролля.

15. Теоремы Лагранжа и Коши.

16. Теоремы монотонности функций.

17. Экстремум функции. Необходимое и достаточное условие экстремума.

18. Выпуклость и вогнутость функций. Точки перегиба.

19. Асимптоты функций.

20. Общая схема исследования функций.

21. Правило Лопиталя.

22. Формула Тейлора. Остаточный член в форме Лагранжа.

23. Формула Тейлора для функции многих переменных.

24. Производная по направлению, градиент.

25. Метод наименьших квадратов.

26. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства.

27. Метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

28. Интегрирование рациональных дробей.

29. Интегрирование тригонометрических выражений.

30. Определенный интеграл, его свойства.

31. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.

32. Замена переменных в определенном интеграле. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

33. Несобственные интегралы.

34. Приближенное вычисление интегралов.

35. Приложения определенного интеграла.

36. Дифференциальные уравнения, общие свойства.

37. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные и приводящие к ним дифференциальные уравнения.

38. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

39. Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

40. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянным коэффициентом.

41. Метод вариации произвольных постоянных.

42. Ряды. Общие свойства. Достаточный признак сходимости.

43. Знакоположительные ряды. Признак сравнения.

44. Признаки Даламбера и Коши.

45. Интегральный признак сходимости ряда.

46. Знакопеременные ряды. Теорема Лейбница.

47. Функциональные ряды. Общие свойства.

48. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости.

49. Свойства степенных рядов.

50. Ряды Тейлора и Маклорена.

51. Разложение некоторых элементарных функций в степенные ряды.