Задача № 2 (15 балів)

Підприємство збільшило загальні витрати на придбання праці та капіталу з 1000 до 1600 гр. од. Його виробнича функція задається рівнянням Q = 2 . Ціна одиниці праці становила 20 гр. од./год., а ціна одиниці капіталу – 50 гр. од./год. Визначте:

1) оптимальні комбінації праці та капіталу для заданих рівнів витрат 1000 та 1600 гр.од.;

2) оптимальні обсяги виробництва для заданих рівнів витрат 1000 та 1600 гр. од.;

3) на скільки відсотків збільшиться випуск продукції, якщо обсяги праці і капіталу одночасно зростуть на 10%.

Розв’язання п. 1–2 задачі проілюструйте графічно.

Розв’язання:

1) Функція ізокости задається рівнянням: Р_L×L + Р_K×K = ТС, де

Р_L, Р_K – ціни на одиницю праці та капіталу відповідно;

ТС – загальні витрати на придбання праці та капіталу.

За умовою, ціна одиниці праці становила 20 гр. од./ год., ціна одиниці капіталу – 50 гр. од./ год.

Тому, функція ізокости задається рівнянням: 20L + 50K = ТС.

За умовою визначення оптимальної комбінації праці та капіталу:

Р_L×L + Р_K×K = ТС

MP_L = (Q)'_L =

MP_K = (Q)'_K =

20L + 50K = ТС

K = 0,4L

20L + 50 ∙ 0,4L = ТС

K = 0,4L

40L = ТС

При ТС₁ = 1000 грош. од., оптимальні комбінації праці та капіталу такі: L₁ = 25, К₁ = 10.

При ТС₂ = 1600 грош. од., оптимальні комбінації праці та капіталу такі: L₂ = 40, К₂ = 16.

(5 балів).

2) За умовою, виробнича функція задається рівнянням Q = 2 .

За оптимальної комбінації праці та капіталу L₁ = 25, К₁ = 10, обсяги виробництва становитимуть Q₁ = 2 =10 ≈ 31,6 од.

За оптимальної комбінації праці та капіталу L₂ = 40, К₂ = 16, обсяги виробництва становитимуть Q₂ = 2 =2 =16 ≈ 50,6 од.

(2 бала).

3) Визначимо на скільки відсотків збільшиться випуск продукції, якщо обсяги праці і капіталу одночасно зростуть на 10%.

Якщо обсяги праці і капіталу одночасно зростуть на 10%, то співвідношення між ними можна задати рівністю: L₁ = 1,1L₀ K₁ = 1,1K₀.

За умовою, виробнича функція задається рівнянням Q = 2 .

Тоді, Q₀ = 2 , а Q₁ = 2 .

Отже, при одночасну збільшенні обсягів праці і капіталу на 10%, випуск продукції також збільшиться на 10%.

(3 бала)

4) Розв’язання п. 1–2 задачі проілюструємо графічно.

За умовою, виробнича функція задається рівнянням Q = 2 .

Отже, загальне рівняння ізокванти можна записати виразом: К = (0,5Q)² / L.

Для Q₁ = 2 рівняння ізокванти буде задаватись рівністю: К = 250 / L, а для Q₂ = 2 такою рівністю: К = 640 / L.

Функція ізокости задається рівнянням: 20L + 50K = ТС.

Для Q₁ =2 витрати становили ТС₁ = 1000 грош. од. Тому, функція ізокости набуде вигляду 20L + 50K = 1000 або К = 20 – 0,4L.

Для Q₂ =2 витрати становили ТС₂ = 1600 грош. од. Тому, функція ізокости набуде вигляду 20L + 50K = 1600 або К = 32 – 0,4L.

Побудуємо графіки відповідних ізокост та ізоквант із зазначенням оптимальних комбінацій праці та капіталу:

(5 балів).

Задача № 3 (20 балів)

Власник фірми, що є монополістом на ринку товару, хоче максимізувати прибуток. Відомі функції попиту і змінних витрат фірми: ( − величина попиту на товар, тис. од.; P – ціна товару, гр. од.), (Q – кількість виробленої продукції, тис. од.; VC – змінні витрати, тис. гр. од.). За порадою сина, що вивчав у школі економіку, власник призначив таку ціну, за якої еластичність попиту за ціною дорівнювала – 1. «Щось там точно є максимальним» – сказав син своєму батькові. В результаті прибуток склав 1,8 млн. гр. од. У скільки разів був би більшим прибуток монополіста, якби син власника фірми краще знав би економіку і дав би правильну пораду своєму батькові? Проілюструйте розв’язання графічно.