Iіі етап

Xіх Всеукраїнської учнівської олімпіади з економіки

11 Клас Розв’язання задач Задача № 1 (10 балів)

Фірма виробляє товар на досконало конкурентному ринку. Функція середніх загальних витрат задається рівнянням АТС = 2Q² – 80Q + 2800. Ринкова ціна становить 2550 грн. Визначте:

1) оптимальний обсяг виробництва та економічний прибуток для цього обсягу;

2) обсяг виробництва, для якого собівартість виробництва одиниці продукції є мінімальною. Розрахуйте економічний прибуток для цього обсягу. Чи забезпечить мінімізація витрат отримання фірмою максимального прибутку?

Розв’язання задачі проілюструйте графічно.

Розв’язання:

1) Визначимо оптимальні обсяги виробництва та економічний прибуток за ринкової ціни 2550 грн.

Р = МС – умова визначення оптимального обсягу виробництва на конкурентному ринку.

АТС = 2Q² – 80Q + 2800; ТС = 2Q³ – 80Q² + 2800Q; МС = 6Q² – 160Q + 2800.

6Q² – 160Q + 2800 = 2550.

6Q² – 160Q + 250 = 0.

D = 25600 – 24∙250 = 19600 = 140².

Q₀ = (160 + 140) / 12 = 25.

Один з коренів квадратного рівняння (160–140)/12=1,7 є зайвим, оскільки оптимальний обсяг визначається кривою пропозиції конкурентної фірми на зростаючому проміжку кривої граничних витрат МС.

Визначимо економічний прибуток за оптимального обсягу 25 та ціни 2550 грн.

ЕР = (Р – АТС)Q або ЕР = TR – ТС.

АТС = 2Q² – 80Q + 2800.

ЕР₀ = 25∙(2550 – (2∙25² – 80∙25 + 2800)) = 25∙(2550 – 2050) = 12500 грн.

Проілюструємо ситуацію графічно (площа заштрихованого прямокутника показує максимальний обсяг прибутку):

2) Визначимо обсяги виробництва, для яких собівартість виробництва одиниці продукції є мінімальною.

Функція середніх загальних витрат задається параболою вітки якої прямують вгору. Отже, вершина параболи буде шуканою величиною. АТС = 2Q² – 80Q + 2800.

За формулою вершини параболи: Q = -b/2a. Q₁ = 80 / 4 = 20.

Крім того, мінімум функції АТС можна визначити за умовою екстремуму, прирівнявши похідну цієї функції до нуля (АТСʹ = 0).

АТС (20) = 2∙20² – 80∙20 + 2800 = 2000.

ЕР = (Р – АТС)Q

ЕР₁ = (2550 – 2000)∙20 = 11000 грн.

Отже, за обсягу виробництва Q₁ = 20, що мінімізує собівартість, фірма не отримає максимально можливого прибутку.

Iіі етап

Xіх Всеукраїнської учнівської олімпіади з економіки

11 Клас Задача № 2 (15 балів)

Споживач збільшив витрати на придбання товарів Х і У з 1000 до 1600 грош. од. Його функція корисності задається рівнянням TU = 2 . Ціна одиниці товару Х становила 20 грош. од., а ціна товару У – 50 грош. од. Визначте:

1) оптимальні комбінації товарів Х і У для заданих рівнів витрат 1000 та 1600 грош.од.;

2) побудуйте криву «дохід-споживання» та криву Енгеля для товару Х. Охарактеризуйте тип товару Х.

Розв’язання:

1) Бюджетна лінія задається рівнянням: Р_Х×Х + Р_У×У = І, де

Р_Х, Р_У – ціни на одиницю товарів Х і У відповідно;

І – дохід споживача, що використовується для придбання товарів Х і У.

За умовою, Р_Х = 20 грош. од., Р_У = 50 грош. од.

20 Х + 50 У = І.

За умовою визначення оптимальної комбінації товарів Х і У (ІІ Законом Госсена):

Р_Х×Х + Р_У×У = І

TU = 2 .

MU_X = (TU)'_X =

MU_Y = (TU)'_Y =

20 Х + 50 У = І

У = 0,4Х

20 Х + 50 ∙ 0,4Х = І

У = 0,4Х

40Х = І.

При І₁ = 1000 грош. од., оптимальні комбінації товарів Х і У такі: Х₁ = 25, У₁ = 10.

При І₂ = 1600 грош. од., оптимальні комбінації товарів Х і У такі: Х₂ = 40, У₂ = 16.

(Можливі інші способи розв’язання задачі: з використанням формули вершини параболи або правила часток – див. розв’язання задачі №2 в 10 класі).

2) Бюджетні лінії споживача задаються рівняннями:

20 Х + 50 У = 1000 та 20 Х + 50 У = 1600.

За умовою, функція корисності задається рівнянням TU = 2 .

TU² = 4ХУ.

Тоді рівняння кривих байдужості матиме вигляд: У = TU² / 4Х.

За оптимальної комбінації Х₁ = 25, У₁ = 10: TU² = 4∙25∙10 = 1000.

Рівняння початкової кривої байдужості: У = 250 / Х.

За оптимальної комбінації Х₂ = 40, У₂ = 16, TU² = 4∙40∙16 = 2560.

Рівняння нової кривої байдужості: У = 640 / Х.

3) Побудуємо графіки відповідних бюджетних ліній та кривих байдужості із зазначенням оптимальних комбінацій товарів Х і У.

Крива «дохід-споживання» будується шляхом поєднання точок оптимального вибору споживача.

4) Побудуємо криву Енгеля для товару Х:

Оскільки зі зростанням доходу і витрат споживача на придбання товару Х його оптимальний обсяг збільшився, то товар Х є нормальним.