Пункт «Повторные и двойные пределы».
Пусть задана функция двух переменных
.
Возьмём точку
на
плоскости. Можно определить понятие
предела функции в данной точке, аналогично
тому, как это вводили для обычных функций
одной переменной. Число А называется
пределом функции
в точке
,
если для всякого
существует окрестность
точки
,
так что если
,
то
.
Обозначается
- двойной предел. Но ведь в плоскости
можно приблизиться к этой точке с многих
направлений. Ситуаций не две, как на
числовой оси (там можно приближаться
только слева или справа) а бесконечно
много.
Если сначала вычислить предел по
(при этом
пока будет служить в роли параметра) а
затем по
,
то получим:
.
А если наоборот, то
Это так называемые «повторные» пределы.
Повторные пределы, как правило, совпадают между собой и равны двойному.
.
в точке (1,1).
Однако, есть примеры, где это не так.
Пример 11. Доказать, что для
двойной предел не существует.
Решение. Если сначала устремить
то
=
=
0. А если приближаться к точке (0,0) по
произвольной прямой
,
то можно сначала всё свести к одной
переменной, и затем устремить
.
Тогда
=
=
.
Получается, что результат зависит от
того, с какой стороны приближаться к
точке (0,0). Это значит, что, двигаясь к
началу координат с разных направлений,
точка на поверхности стремится к разным
высотам, тогда ни в какой малой окрестности
не может быть выполнено
,
т.е. предел не существует. Таким свойством
обладает винтовая поверхность, состоящая
из прямолинейных образующих, у которых
направление зависит от высоты. Чтобы
понять, представьте себе винтовую
лестницу в узкой башне: разные ступеньки
отходят от общей вертикальной прямой,
но с ростом высоты меняется угол поворота.
Практика 19 Повторение.
Задача 1. (из Домашнего задания) Найти предел .
Решение.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
.
Ответ.
.
№ 2. (Из домашнего задания). Найти предел .
Решение.
=
=
=
=
=
.
Ответ.
.
Повторим ещё с помощью нескольких примеров, приведённых в конце пособия в приложении 1.
№ 3. Вычислить предел
.
Решение.
=
=
=
сократим на n.
=
=
=
.
Ответ. 3.
№ 4. Вычислить предел
.
Решение.
=
=
=
.
Ответ. .
№ 5. Вычислить предел
.
Решение.
=
=
=
.
Ответ. 5.
№ 6. Вычислить предел
.
Решение.
=
=
=
=
=
=
=
.
Ответ. .
Контрольная 45 минут.
9 Предел последовательности
10 Предел функции, с неопределённостью 0/0.
11 Предел функции, 1-й замеч. lim
12 Предел функции, 2-й замеч. lim
Примечание. Практики 18 и 19 могут быть перестановочны в зависимости от расписания и даты «контрольной точки» университета. Контрольную работу на знание базовых методов вычисления пределов возможно провести раньше темы «главная часть бесконечно-малой».
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Практика 20 (2 декабря у обеих групп).
Основные правила дифференцирования, таблица производных.
Практика 21
Практика 22
Практика 23 (16 декабря у обеих групп).
Практика 24
Практика 25
Практика 26 (30 декабря у обеих групп).
Ликвидация долгов, исправление или написание пропущенных контрольных.
Приложение 1.
Пример одного варианта контрольных работ.
Темы 3-й контрольной:
9. Предел последовательности
10. Предел функции, с неопределённостью 0/0.
11. Предел функции, 1-й замеч. lim
12. Предел функции, 2-й замеч. lim
Вариант:
9) Вычислить предел
10) Вычислить предел
11) Вычислить предел
12) Вычислить предел
Темы 4-й контрольной:
13. Производные функции одной переменной.
14. Частные производные для f(x,y), градиент.
15. Уравнение касательной
15. Экстремумы функции на [a,b].
Вариант:
13) Найти производную (какая-нибудь функция f(x)).
14) Найти градиент функции
в точке
и производную по направлению
.
15) Найти уравнение касательной для
в точке
и высоту касательной при x=0.
16) Найти экстремумы для
.
Литература.
1. Магазинников Л.И. Практикум по мат. анализу
2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.