Наближене обчислення визначених інтегралів

Нехай треба знайти визначений інтеграл , де – деяка неперервна на  функція. У цьому розділі ми вже показали, як визначити такий інтеграл за допомогою первісної у замкнутому вигляді. Цей метод застосовується лише до досить вузького класу функцій, за межами цього класу використовують різні методи наближених обчислень. Найпростішими з них є метод прямокутників, трапецій та парабол (метод Сімпсона). Вибираючи наближені методи обчислення визначеного інтеграла, намагаються використати можливості сучасної обчислювальної техніки.

Метод прямокутників

Поділимо відрізок  точками  на n  рівних частин завдовжки  і на кожному відрізку  виберемо середню точку

 (i=1,2…n) Тоді визначений інтеграл можна обчислити за формулою

, яка називається формулою прямокутників. Очевидно, що чим більшим буде n, тим меншим буде крок Δx і права частина даватиме точніше значення інтеграла.

М етод трапецій

Очевидно, що ми отримаємо точніше значення визначеного інтеграла, якщо криву y =  

наблизимо не ступінчастою лінією, як у формулі прямокутників, а ламаною. Тоді площу криволінійної трапеції замінимо сумою площ відповідних прямокутних трапецій (рис. 5)

рис. 5

,

де , (i=0,1…n).

Із зростанням числа n збільшується точність цієї формули.

Метод парабол (формула Сімпсона)

Поділимо відрізок  на 2n  однакових частин. Площу криволінійної трапеції, що відповідає першим двом відрізкам  та  і обмежена кривою y = , замінимо площею криволінійної трапеції, що обмежена параболою y=Ax²+Bx+C , яка проходить через три точки M₀(x_0,y₀), M₁(x_1,y₁), M₂(x_2,y₂). Можна довести, що якщо криволінійна трапеція обмежена параболою y=Ax²+Bx+C, віссю Ox і двома вертикалями x=x₀, x=x₂, відстань між якими дорівнює 2h (тут ), то її площа дорівнює 4 + ), де y₀ , y₂   – ординати крайніх точок, y₁ – ордината кривої у середній точці. Такі параболи будуємо і для інших відрізків, сума їх площ дасть наближене значення інтеграла + + . Ця формула дає точніше значення визначеного інтеграла, тому що для її доведення використовується метод парабол, за яким на кожному відрізку  до інтегральної суми входять три значення функції.

13