2.4.2.3. Множественная корреляция

Силу связи во множественных моделях изучают с помощью показателя множественной корреляции и его квадрата – показателя множественной детерминации.

Показатель множественной корреляции – показывает тесноту связи между результативным признаком и всеми включенными в модель факторами. Может принимать значения от 0 до 1, то есть в отличие от парной модели не показывает направление связи.

Показатель множественной детерминации - показывает часть вариации результативного признака, которая сложилась под влиянием всех включенных в модель факторов.

В статистике и эконометрике показатель множественной корреляции (детерминации) принято называть индексом или коэффициентом множественной (совокупной) корреляции.

Для линейной множественной функции и для функций нелинейных по переменным (полиномы разных степеней, равносторонняя гипербола и т.п. функции) индекс множественной корреляции совпадает с коэффициентом множественной корреляции.

Коэффициент (индекс) множественной корреляции рассчитывают, используя следующие формулы:

(138)

где:

- остаточная дисперсия (139)

- общая дисперсия для признака (140)

(141)

Коэффициент множественной корреляции можно рассчитать и, как:

(142)

где:

- парные коэффициенты корреляции между результативным признаком и одним из факторов .

Для функций нелинейных по оцениваемым параметрам (степенная, показательная, экспоненциальная и т. п. функции) индекс множественной корреляции не совпадает с коэффициентом множественной корреляции. Его называют « » и определяют как

(143)

Коэффициенты (индексы) множественной детерминации получают, возводя коэффициенты (индексы) корреляции в квадрат, или по формулам.

(144)

(145)

(146)

Скорректированный индекс множественной детерминации

Индекс множественной детерминации используют для определения качества регрессии, чем больше , к единице тем выше качество подбора регрессии.

Но использование только одного индекса детерминации для определения наилучшего уравнения регрессии недостаточно. Необходимо учитывать, что при увеличении факторов включенных в уравнение регрессии, при одном и том же числе наблюдений , при расчете показателей корреляции, за счет использования остаточной дисперсии появляется систематическая ошибка – чем больше число параметров в уравнении регрессии, при одном и том же числе наблюдений , тем больше получается расчетный показатель тесноты связи. Если число факторов приближается к числу наблюдений, то расчетный показатель корреляции будет близок к единице, то есть показывать тесную связь, даже если связь незначительна. Для того чтобы избежать этого рассчитывают скорректированный индекс множественной детерминации.

(147)

или

(148)

Скорректированный индекс множественной корреляции рассчитывают соответственно как:

(149)

или

(150)

где:

- для линейной множественной модели – число факторов включенных в регрессионную модель. Для нелинейной модели - число параметров при и их линеаризации ( и так далее), которое может быть больше числа факторов.

- число наблюдений.

В силу сказанного выше необходимо понимать, что нельзя перегружать множественную модель факторами, так как снижается достоверность расчетов, принято считать, что на каждые 8-10 наблюдений в модель целесообразно включать один фактор.