.1 Постановка задачи

Провести качественное и компьютерное моделирование отношений типа «Хищник - Жертва», описываемого системой уравнений:

dx1/dt =c1x1 - a12x1x2=P(x1,x2) (1)/dt =-c2x2+ a21x1x2= Q(x1,x2)

где, x1- численность популяции первого вида;

х2- численность популяции второго вида;и с2 - коэффициенты естественного прироста;, a21 - коэффициенты взаимного сотрудничества;

Для системы уравнений (1) первое слагаемое соответствует естественному приросту, а второе слагаемое - описывает внутривидовую конкуренцию. Из системы уравнений (1) видно, что наличие второго вида приводит к повышению эффективной ёмкости первого вида и наоборот, поэтому происходит снижение эффекта внутривидовой конкуренции. Проведем качественное исследование данной системы уравнений. Для качественного исследования в системе найдем точки равновесия (особые точки системы), которые определяют стационарные численности популяции.

2.2 Нахождение особых точек

Определим стационарные точки системы уравнений, которые являются алгебраическими корнями системы уравнений.

с1х1-а12х1х2=0 (2)x2+a21x1x2=0

Стационарные точки - это точки равновесия, определяемые из условия:

/dt=dx2/dt=0

Вынесем за скобку в первом уравнении х1, а во втором х2 и получим:

х1(с1-а12х2)=0

х2(-с2+а21х1)=0 Система уравнений (2) имеет две пары корней:

=0 и х2=0 1-я особая точка

х2=с2/а21 и х2=с1/a12 2-я особая точка

Если эти особые точки устойчивы, то величины х1 и х2 будут стремиться к этим точкам. Если особые точки не устойчивы, то численности популяций х1 и х2 будут удаляться от этих точек.

Система (1) представляет собой частный случай автономной динамической системы:

/dt=P(х1,х2)/dt=Q(x1,x2)

Особая точка соответствует стационарному (равновесному) состоянию системы. Любая экосистема является открытой, т.е. всегда обменивается энергией, информацией, веществом с окружающей средой.

Любая точка на фазовой плоскости является точкой состояния системы в данный момент времени и называется изображающей точкой. Со временем изображающая точка движется по фазовой плоскости. Эта линия, которая описывает изменение численности видов со временем, называется фазовой траекторией.

2.3 Исследование особых точек на устойчивость

Исследуем найденные особые точки на устойчивость. Для этого производится линеаризация (замена на линейное выражение) системы (1) в малой окрестности каждой особой точки. Представим Х1Х2 в следующем виде:

Х1=х1+?

Х2=х2+?

Где ?, ? - относительные возмущения, соответственно от значений х1 и х2. Тогда линеаризуемая система в малой окрестности особой точки, соответствующая исходной системе (1) имеет следующий вид:

?/dt=a?+b??/dt=c?+c? (3)

Решение системы уравнений имеет линейный вид:

?(t)=C1e?1t, ?(t)=C2e?2t, где С1, С2- константы.

Устойчивость особых точек определяется корнями характеризующего уравнения (квадратичное уравнение):

?2+(a+d)?+(ad-bc)=0 (4)

? 1,2=(a+d)/2±?(a + d)2/4+bc-ad (5)

где ? 1,2 - корни характеризующие уравнения.

Найдём величины a, b, c, d:

a= dP/dx1=c1-a12x2,=dР/dх2=-а12х1=dQ/dx1=a21x2,=dQ/dx2=-c2+c21x1

Для каждой особой точки находим ? l , ? 2 по формуле (5):

-я особая точка:

а=с1; b=0; d=-c2

Таким образом, корни характеристического уравнения для 1-ой особой точки являются действительными и противоположными по знаку числами, поэтому эта точка равновесия является седлом (две интегральные кривые проходят через эту точку, остальные представляют собой гиперболы). Эти особые точки неустойчивы. Характеристика седла: изображающая точка, двигаясь по интегральным кривым, удаляется от особой точки, т.е. одно из экспоненциальным кривым, удаляется от особой точки, т.е. одно из экспоненциальных решений со временем увеличивается, а другое падает.

-я особая точка: =0; =-a12c2/c21;=c1a21/a12;=0;

Таким образом, корни характеризующего уравнения для 2-ой особой точки являются чисто мнимыми числами, следовательно, вторая особая точка. Представляет собой центр. В случае седла изображающая точка не проходит через особую точку.