Физический маятник

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания вокруг некоторой оси (рис. 2).

Рис. 2

Физический маятник в виде стержня подвешен на горизонтальной оси O (рис.2). Отклоним маятник на некоторый угол α от вертикали. Тогда на него будет действовать момент возвращающей силы относительно оси вращения.

M = -F·l = - Qsin = - mg sinα ·l,

где F– возвращающая сила;

Q = mg – сила тяжести;

C – центр тяжести стержня;

l – расстояние от оси вращения О до С;

m – масса маятника;

N – реакция опоры.

Знак минус показывает, что этот момент направлен в противоположную сторону относительно смещения маятника х.

Используя основной закон динамики вращательного движения можно записать

M = J · ε = - mglsinα,

где ε = – угловое ускорение;

J – момент инерции стержня относительно оси вращения О.

При малых отклонениях α можно записать

sinα .

Угловое ускорение ε связано с линейным ускорением по окружности

ε = .

Тогда J = -mgl

или .

На основании формулы (4)

имеем , тогда Т (8)

В формуле (8) величину называют приведенной длиной l_пр физического маятника, так как математический маятник длины l_пр= будет иметь одинаковый период с данным физическим маятником. Отсюда получаем формулу для определения ускорения свободного падения

g = 4π² . (9) Период колебаний Т физического маятника можно измерить непосредственно с помощью секундомера, а приведенную длину l_пр непосредственно измерить нельзя. Поэтому, необходимо выразить приведенную длину через величины, доступные прямому измерению. По теореме Гюйгенса-Штейнера момент инерции I маятника относительно любой оси подвеса равен

I= I₀ + ml², (10)

где I₀ - момент инерции маятника относительно оси параллельной оси подвеса и проходящей через центр инерции маятника, l- расстояние от оси подвеса до центра инерции, m - масса маятника. Подставив (10) в формулу (8), получим

Т = 2 . (11)

График зависимости периода колебаний Т от расстояния l представляет кривую имеющую минимум (рис.2). Решив уравнение = 0 относительно l найдем, что в точке минимума

= , (12)

Рис. 2

где - радиус инерции маятника относительно оси, проходящей через центр инерции. Подставив (12) в формулу (11), получим выражение для минимального периода:

= . (13)

Таким образом:

а) если маятник колеблется относительно оси, проходящей на расстоянии радиуса инерции a₀ от центра инерции, то период колебаний маятника будет наименьшим из всех возможных;

б) если же ось подвеса удаляется от l= a₀ , то период колебаний будет увеличиваться до бесконечности при приближении оси подвеса к центру инерции и до некоторой конечной величины, зависящей от размеров маятника, при удалении оси подвеса от центра инерции. Прямая Т=const (рис.3), проведенная на графике, пересечет кривую Т=Т(I) (11) в двух точках l₁ и l₂, т.е. существуют такие две точки подвеса по одну сторону от центра инерции, периоды колебаний которых совпадают. Решая уравнение (11), найдем, что эти оси находятся от центра инерции на расстояниях l₁ и l₂

Рис. 3

Для этого преобразуем (11) и умножим обе части уравнения на l

Получим квадратное уравнение

и решая его, имеем:

(14)

Сумма расстояний l₁ и l₂ равна приведенной длине физического маятника и соответствует формуле (9)

l₁ + l₂ = = l_пр (15)

Таким образом, измерив период Т и найдя l_пр из графика, можно вычислить ускорение свободного падения по формуле (9). Перемножая в (14) расстояния l₁ и l₂ с учетом (12), получим формулу для определения момента инерции маятника относительно оси, проходящей через его центр инерции

l₁ l₂ = |I₀| = ml₁l₂ = (16)

Откуда = l₁ l₂ .

Зная I₀, по теореме Гюйгенса-Штейнера (10) можно вычислить момент инерции I относительно любой оси подвеса или определить его экспериментально, пользуясь формулой (8).

Выполнить экспериментальную часть лабораторной работы согласно описанию в упражнении №2.

ОБОРОТНЫЙ МАЯТНИК

КРАТКАЯ ТЕОРИЯ

Для определения g необходимо измерение двух величин: периода колебаний Т и приведенной длины l_пр. Первая величина определяется непосредственным измерением. Что касается величины l_пр, то ее можно либо вычислить, зная размеры и массу маятника, либо непосредственно определить, пользуясь так называемым оборотным маятником (рис.4).

Применение оборотного маятника основано на свойстве сопряженности центра качания и точки подвеса. Это свойство заключается в том, что во всяком физическом маятнике можно найти две точки, что при последовательном подвешивании маятника за ту или другую из них период колебаний его остается одним и тем же. Расстояние между этими точками определяет собой приведенную длину данного маятника.

Если амплитуда колебаний маятника мала, то время одного простого колебания, т.е. период колебания, определяется формулой (8). Используя теорему Гюйгенса-Штейнера (10) найдем

, .

Совместно решая эти уравнения, имеем

(17)

Для величины ускорения из последней формулы после преобразований получаем уравнение данное Бесселем

g = (18)

где l₁ + l₂ = l_пр - приведенная длина.

Если периоды равны между собой (Т₁=Т₂=Т), уравнение (18) примет вид

g = (19)

Добиться полного равенства периодов нелегко. Формула Бесселя позволяет достаточно просто и с высокой точностью определить величину ускорения при приближенном равенстве периодов колебаний.

Рис. 4

Оборотный маятник.

1 – стойка, 2 – маятник, 3 – призмы, 4 – фотоэлектрический датчик, l₁ - расстояние от точки подвеса О до центра тяжести С, l₂ – расстояние от центра качания О₁ до центра тяжести, l_пр – расстояние от точки подвеса до центра качания ОО₁.

Выполнить лабораторную работу согласно описанию в упражнении №3.