§2. Частные производные и градиент.

Мы рассмотрели случай . Как видим, там метод дифференцирования практически ничем не отличается от случая скалярных функций, просто есть n компонент. А теперь рассмотрим производные для функций нескольких переменных . Пусть например, дана функция , или . Приращение аргумента в этом случае задаётся не однозначным образом: ведь можно задать приращение каждому из аргументов, которых несколько. Так, например, для можно фиксировать y и рассмотреть функцию . Это уже будет функция одной переменной. График функции это поверхность, тогда при фиксировании получается сечение поверхности вертикальной плоскостью, то есть кривая.

Можно задать приращение только для , и тогда получим такое понятие, как частная производная.

Определение. Производной функции f по переменной x называется предел:

.

Кроме ещё применяют такое обозначение: .

Аналогично определяется частная производная по y, ведь можно взять вторую точку, отступив в направлении другой оси.

.

Геометрический смысл: тангенс угла наклона касательной к кривой, получающейся в одном из сечений.

Физический смысл. Если функция - это температура воздуха, то например, при движении самолёта строго на юг температура за бортом будет возрастать, а при движении на запад или восток почти неизменна. Как видим, частные производные в двух перпендикулярных направлениях могут сильно отличаться.

Метод вычисления частных производных.

Если бы вам нужно было вычислить производную функции, содержащей параметр C, например , то понятно, что = . Так вот, аналогично, если функция нескольких переменных, то при дифференцировании по одной из них, остальные в роли параметров, то есть вы можете мысленно «заморозить» их или даже переобозначить через A или C, а после вычисления производной, разморозить или переобозначить обратно.

Если то , .

Если объединить частные производные в один вектор, то получим .

этот вектор называется градиентом функции.

Кроме , применяется обозначение .

Если после вычисления частных производных фиксировать переменные, то есть взять конкретную точку, то получится градиент в точке. Это вектор, состоящий из чисел, а не функций.

Пример. Найти градиент функции в точке (1,1,1).

Решение. Найдём частные производные. , , . Присвоим все значения x,y,z=1. Получаем .

Пример. Пусть . Соответствующая поверхность - эллиптический параболоид. Градиент поверхности это вектор . Теперь, если фиксировать точку (1,0) то получим, что градиент равен (2,0) а если точку (1,1) то (2,2) и т.д. Градиент для этой функции всегда направлен радиально от начала координат.

И действительно, если точка находится под этой поверхностью, то она должна двигаться в направлении от центра, чтобы рост высоты поверхности над ней происходил быстрее всего. А для неявно заданной окружности, этот вектор как раз и является перпендикуляром. Заметим, что градиент ортогонален окружности, то есть горизонтальному сечению.

Старшие производные.

После дифференцрования по той или иной переменной, мы получаем снова функцию от тех же нескольких переменных. Но ведь её снова можно продифференцровать по одной или другой переменной. Таким образом, получается n² возможностей определить какие-либо вторые производные, например, если две переменных, то вторых производных будет четыре: , , , .

Покажем их нахождение в виже схемы:

Кстати, смешанные вторые производные , всегда совпадают.

Также применяются и такие обозначения:

, , , .

Из 2-х производных можно образовать матрицу:

.

Здесь также можно найти 8 третьих производных, 16 четвёртых и т.д.

Кстати, часть из них может быть и 0, так, .

Это был пример с . А если , то градиент из 3 координат, тогда есть 9 вторых смешанных частных производных.

Производная функции .

Пусть дано n функций, каждая из них от n переменных:

тогда возникает n² возможностей вычислить различные частные производные. Их можно записать в виде матрицы. В случае векторной функции векторного аргумента уже даже первые производные образуют матрицу.

.

Эта матрица и называется производной матрицей функции f.

В каждой из её строк расположен градиент какой-либо из координатных функций .

Пример. Найти производную матрицу для функции .

Решение. = = .

Композиция и формула полной производной

Пусть задана композиция типа , а именно .

Фактически, эта функция является функцией от t (если выразить переменные x,y через t). Следовательно, можно вычислить производную по t. Посмотрим, как эта производная взаимосвязана с частными производными. По правилу дифференцирования композиции,

=

что в других обозначениях можно записать так: .

Аналоличная формула верна и в случае 3 координат.

Производная по направлению.

В определении частных производных, мы рассматривали приращение аргумента в виде или . Но ведь от исходной точки можно отступить не только в направлении координатных осей, но и в произвольном направлении. Если рассмотреть разность значений функции в какой-то паре точек, расположенных произвольно, а не вдоль оси, то есть и затем приближать 2-ю точку к первой, и при этом делить на расстояние между точками, получим предел

называется «производная по направлению». Будем считать, что вектор нормирован, то есть . Только в этом случае мы получим правильный результат, ведь нужно измерять скорость изменения функции именно в расчёте на единицу длины при движении по этой прямой.

Если это направление соответствует какой-либо из координатных осей, то как раз и получаются частные производные, которые изучили раньше.

Формула взаимосвязи производной по направлению и градиента

.

Доказательство. Обозначим координаты вектора . Точка M произвольная, её координаты , а точка . Так как то их координаты пропорциональны, то есть

, что также записывается в параметрическом виде:

Это функция .

Рассмотрим производную композиции функций , а именно . Одно число (время t) сначала отображается в тройку чисел (координаты точки в момент времени) а затем функция f отображает эти 3 числа снова в одно число.

Производная внешней функции (которая действует последняя) это вектор-строка градиент функции f.

Производная внутренней функции (которая действует первая) это вектор-столбец.

Но ведь , аналогично и . Тогда

Но это и есть скалярное произведение градиента и вектора .

Отсюда виден смысл градиента.

Геометрический смысл. Градиент это вектор, при движении в направлении которого рост функции наиболее быстрый. Если движение в перпендикулярном направлении, то рост функции будет нулевым. Если под большим увеличением рассмотреть какой-то небольшой кусочек поверхности, то он выглядит почти как наклонная плоскость, а для наклонной плоскости при движении в ту сторону, куда она наклонена, наибольшая скорость роста высоты, в перпендикулярном направлении - высота не изменяется, а при движении в противоположном - уменьшается.

Замечание. Если направление - по координатной оси, то производная по направлению как раз и совпадает с какой-либо из частных производных. Если вектор вдоль оси Ox, то , скалярное произведение этого вектора и градиента это

= .

Лекция № 13. 02. 12. 2016

Лекция № 14. 09. 12. 2016

Лекция № 15. 16. 12. 2016

Лекция № 16. 23. 12. 2016

46