2.Предел функции в точке

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ (возможно, определена на R), но в самой точке x₀ функция f(x) может быть и не определена.

Дадим сначала описательное определение предела функции в точке и приведем пример.

Число b называется пределом функции f(x) в точке x₀ (x → x₀), если значения f(x) приближаются к числу b как угодно близко при условии, что значения аргумента x подходят к x₀ достаточно близко. Обозначение: . 

Пример 1. Функция   определена во всех точках числовой оси, за исключением x₀ = 2. Найдем  , для этого вычислим значения f(x) для x, близких к 2, и построим график: y = f(x). Заметим, что для x ≠ 2:  .

x	1,6	1,7	1,8	1,9	2,1	2,2	2,3	2,4
y	3,2	3,4	3,6	3,8	4,2	4,4	4,6	4,8

График функции:   совпадает с прямой: y = 2x для всех x ≠ 2  (рис. 1.6). Из таблицы и графика видим, что значения f(x) тем меньше отличаются от числа 4, чем ближе значения аргумента x подходят к 2.

Покажем, что   Для этого убедимся, что | f(x) – 4 | может стать настолько малым, насколько пожелаем:  |, так как x ≠ 2.

Потребуем, чтобы   , тогда из неравенства:   . Т.е. при значениях x, удовлетворяющих неравенству:  , выполняется неравенство   .

Аналогично можно показать, что   и, вообще, для любого (малого) положительного числа ε:  (или, что то же самое,   ). Обозначим  

Дадим строгое определение предела функции в точке.

Число b называется пределом функции f(x) в точке x₀ (при стремлении x к x₀), если для любого положительного числа e найдется положительное число δ, такое, что для любого x ≠ x0 и удовлетворяющему неравенству: x0 – δ < x < x0 + δ, выполняется неравенство: | f(x) – b| < ε. 

Символически   означает: 

Заметим, что условие: «x ≠ x0 и x0 – δ < x < x0 + δ»  можно записать в виде неравенства: 0 < | x – x0 |

Если   f(x) = b, то на графике функции y = f(x) (рис. 1.7) это иллюстрируется (по определению предела) так: для всех точек x, отстоящих от x₀ не далее, чем на δ, значения f(x) отличаются от b не более чем на ε.

Пример 2. Показать, что  x = x₀.  В самом деле f(x) = x, поэтому для любого ε > 0: | f(x) – x₀ | x – x₀ |

Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке

Переходим к рассмотрению односторонних пределов функции в точке x₀, при которых переменная x «движется» к x₀ слева (левосторонний предел) или справа (правосторонний предел). Нам потребуется понятие полуокрестности.

Пусть δ > 0. Интервал (a, x0) называется левой полуокрестностью точки x₀, интервал (x₀ – d, x₀) – левой d-полуокрестностью точки x₀. Интервалы (x₀, δ), (x₀, x₀ + δ) называются, соответственно, правой полуокрестностью и правой δ-полуокрестностью точки x₀(см. рис. 1.8, 1.9).

Пусть f(x₀) определена в левой полуокрестности точки x₀.

Число b называется левосторонним пределом функции f(x) в точке x₀ (обозначение:   ), если для любого ε > 0 найдется δ > 0, такое, что для всех значений x, принадлежащих левой d-полуокрестности (x0 – δ, x0), выполняется неравенство: |f(x) – b| < ε.

Символически   означает:   (см. рис. 1.8).

Аналогично, число b называется правосторонним пределом функции f(x) в точке x₀ (обозначение:  ), если для любого ε > 0 найдется δ > 0, такое, что для всех значений x, принадлежащих правой d-полуокрестности (x0, x0 + δ), выполняется неравенство: | f(x) – b |

Символически   означает: 

Пример 3. Функция f(x) задана равенством (рис. 1.10): 

Найти 

Решение. Покажем, что   . 

Рассмотрим значения x < 1, тогда f(x) = 2x – 1 и | f(x) – 1| = |2x – 1 – 1| = 2|x – 1|. Зафиксируем малое ε > 0. Подсчитаем: | f(x) – 1| x – 1| < ε ↔ |x – 1| <   . Так как x < 1, то  f(x) – 1| < ε, если 1 –  < x < 1, следовательно, δ =   . Итак, если 1 – < x < 1, то  | f(x) – 1| < ε, т.е.   .

Рассмотрим значения x > 1, тогда f(x) = 4 – x. Зафиксируем ε > 0,

Если же правосторонний предел функции в точке x₀ не равен левостороннему пределу функции в точке x₀, то не существует. Так, в примере 3 функция f(x) не имеет предела в точке x₀.