2. Используемые результаты

Теорема 1.2.1 (Лагранжа).

Порядок подгруппы конечной группы делит порядок группы, то есть конечная группа, , то .

Следствие 1.2.1 Пусть ‒ конечная группа, . Тогда .

Теорема 1.2.2 (Теорема о мощности произведения подгрупп).

Пусть ‒ конечная группа,

Тогда .

Теорема 1.2.3 (Свойства смежных классов).

Пусть ‒ группа, . Тогда справедливы следующие утверждения.

1) Любой элемент смежного класса может быть выбран в качестве его представителя, то есть , то ;

2) Любые два смежные класса либо совпадают, либо не пересекаются, то есть если, то , то ;

3) Мощность правого смежного класса совпадает с мощностью и совпадает с мощностью левого смежного класса , то есть ;

4) .

Теорема 1.2.4 (О факторгруппе).

Пусть ‒ группа, . Совокупность (читается по ) всех смежных классов группы по подгруппе является мультипликативной группой относительно умножения, заданного по правилу: , выполняется , которая называется факторгруппой группы по подгруппе .

Теорема 1.2.5 (Свойства нормальных подгрупп).

Пусть ‒ группа. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. если , , то и , то есть пересечение нормальных подгрупп есть нормальная подгруппа и произведение нормальных подгрупп есть нормальная подгруппа;

2. если , , то , то есть пересечение нормальной подгруппы с произвольной нормальна в произвольной;

3. если , , и , то , то есть нормальная подгруппа является нормальной в любой подгруппе ее содержащей.

Лемма 1.2.1. Пусть ‒ группа, Тогда справедливы следующие утверждения:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Лемма 1.2.2. Пусть ‒ группа. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. 

2. 

Лемма 1.2.3. Пусть

1. Если

2. Если

3. Если и значит

Глава 2. Примарные и бипримарные группы

1. Примарные группы и их простейшие свойства

Определение 2.1.1. Группа называется примарной, если её порядок равен степени некоторого простого числа.

Теорема 2.1.1 (Свойства примарных групп). Пусть – примарная группа.

1. Центр неединичной примарной группы отличен от 1.

Доказательство. Пусть ‒ -группа порядка и ‒ все различные классы сопряженных элементов группы , Как известно, порядок класса сопряженных с элементов равен индексу централизатора , то есть . Каждый элемент центра составляет отдельный класс и наоборот, если то

где ‒ центр. Итак, где при Пусть Тогда Отсюда следует, что существует такое, что Но тогда и

2. В примарной группе каждая собственная подгруппа отлична от своего нормализатора.

Доказательство. Пусть ‒ -группа и ‒ собственная подгруппа. Рассмотрим разложение группы в двойные смежные классы по :

Здесь Используя Теорему 1.2.2, получаем:

Теперь из разложения имеем

Пусть Тогда из равенства следует, что

Так как то в правой части равенства под знаком суммы имеются слагаемые, равные единице, то есть существует номер такой, что Это означает, что и Ввиду того что элемент не принадлежит и ‒ собственная подгруппа

3. В примарной группе все максимальные подгруппы нормальны и имеют простые индексы.

Доказательство. Пусть ‒ -группа и По 2 пункту рассматриваемой леммы ‒ собственная подгруппа в своем нормализаторе Из максимальности следует, что и По теореме о соответствии в фактор-группе нет нетривиальных подгрупп, поэтому согласно теореме Силова группа имеет простой порядок.

4. В примарной группе пересечение неединичной нормальной подгруппы с центром группы отлично от единицы.

Доказательство. Пусть ‒ -группа и Требуется доказать, что Если ‒ произвольный элемент из то для любого элемента Поэтому состоит из классов сопряженных элементов группы , то есть где Можно положить Поскольку то, считая получаем

Теперь ясно, что существует такое, что и

5. Минимальная нормальная подгруппа примарной группы имеет простой порядок и содержится в центре группы.

Доказательство. Пусть ‒ -группа и Так как то , а поскольку то Согласно теореме Силова в существует элемент простого порядка. Поэтому и из условия следует, что Теорема доказана.

Определение 2.1.2. Пусть Группа называется -группой, если , где

Лемма 2.1.1 Пусть Если – абелева группа и , такая что