4 Вид. Задачи на переливание.

1. Можно ли, имея лишь два сосуда емкостью 3 и 5л, набрать из водопроводного крана 4 л воды?

2. Как разделить поровну между двумя семьями 12 л хлебного кваса, находящегося в двенадцатилитровом сосуде, воспользовавшись для этого двумя пустыми сосудами: восьмилитровым и трехлитровым?

3. Как, имея два сосуда емкостью 9л и 5л, набрать из водоема ровно 3 литра воды?

4. Бидон, емкость которого 10 литров, наполнен   соком. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров. Как разлить сок в два сосуда по 5 литров каждый?

5. Имеются два сосуда. Емкость одного из них 9л, а другого 4л. Как с помощью этих сосудов набрать из бака 6 литров  некоторой жидкости? (Жидкость можно сливать обратно в бак).

5 Вид. Комбинаторные задачи.

Включение комбинаторных задач в начальный курс математики оказывает положительное влияние на развитие младших школьников. Решение таких задач дает возможность расширить знания учащихся о самой задаче, например, о количестве и характере результата (задача может иметь не только одно, но и несколько решений - ответов или не иметь решения), о процессе решения (чтобы решить задачу, необязательно выполнять какие- либо арифметические действия), подготовить к решению жизненных практических проблем, научить принимать оптимальные в данной ситуации решения, организовать элементарную исследовательскую и творческую деятельность учащихся. 

При «неформальном» методе решения на первый план выходит сам процесс составления различных вариантов и главное уже не сколько, а какие варианты могут получиться. К «неформальным» мы относим метод перебора.

1.  У Даши 2 юбки: красная и синяя, и 2 блузки: в полоску и в горошек. Сколько разных нарядов у Даши?

2.Сколько существует двузначных чисел, у которых все цифры нечетные?

3.  Родители приобрели путевку в Грецию. До Греции можно добраться, используя один из трех видов транспорта: самолет, теплоход или автобус. Составьте все возможные варианты использования данных видов транспорта.

4. Сколько разных слов можно образовать при помощи букв слова «соединение»?

5.    Из цифр 1, 3, 5 составить различные трехзначные числа так, чтобы в числе не было одинаковых цифр.

6 Вид. Геометрические задачи.

1.   Раздели пирог прямоугольной формы двумя разрезами на части так, чтобы они имели треугольную форму. Сколько получилось частей?

2. Разрежь квадрат на 4 части и сложи из них 2 квадрата. Как это сделать?

3.Разрежьте треугольник на два треугольника, четырехугольник и пятиугольник, проведя две прямые линии.

4. Можно ли квадрат разделить на 5 частей и собрать восьмиугольник?

7 Вид. Логические квадраты.

1.  Заполни квадрат (4 х 4) числами 1, 2, 3, 6 так, чтобы сумма чисел по всем строкам, столбцами и диагоналям была одинаковой. Числа в строках, столбцах и диагоналях не должны повторяться.

2. Раскрась квадрат (4х4) красным, зеленым, желтым и синим цветами так, чтобы цвета в строках, столбцах и по диагоналям не повторялись.

3. В квадрате (3х3) нужно разместить числа 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3 так, чтобы по всем линиям получить в сумме число 6.

  4.Числа 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 расставить в клетках квадрата  (3х3) так, чтобы в любом направлении в сумме получить 21.

5. В клетках квадрата (3х3) расставить числа 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 так, чтобы в столбцах, в строчках и по диагоналям получить сумму 24.

Перечень видов нестандартных задач может быть продолжен, например, ориентируясь на приемы  решения задач: задачи, решаемые «рассуждением с конца», задачи на прием  «уравнивания» и др.  Приведем ещё один вид задач – задачи из старинных задачников (Л.Ф. Магницкий, Астрябов и др.).  или старинные задачи.

Старинные задачи  позволяют не только развить смекалку и сообразительность, но и почувствовать прикосновение других эпох, порадоваться пришедшему решению точно так же, как когда-то, быть может, радовались наши предки. Наши предки умели думать и решать задачи. Очень многие сказки воспевают смекалку и скорость мышления, благодаря которым герои обретают счастье. Такие качества, как сообразительность, оригинальность слова и дела, уникальность и мастерство всегда были и будут в цене. Конечно, задач и головоломок за века было придумано неисчислимое множество, и я специально отобрал лучшие из них.

Еще в древние века математика занимала основное место в умах ученых и благодаря сохранившимся рукописям у нас есть возможность проследить за развитием математической мысли и возможность прорешать старинные задачи и сравнить их решение с современным решением.

Леонтий Филиппович Магницкий (9(19)июня 1669- 19(30)октября 1739)  русский  математик, педагог; преподаватель математики в Школе математических и навигацких наук  в Москве  (с 1701 по 1739), автор первой в России учебной энциклопедии по математике (в 1703г.  «Арифметика»), которая более ста лет являлась основным учебным   пособием по   математике в России.

Задачи из старинных рукописей и «Арифметики…» Л.Ф.Магницкого

Задача 1. Условие:

Кому пасти овец? У пятерых крестьян – Ивана, Петра, Якова, Михаила и Герасима-было 10 овец. Не могли они найти пастуха, чтобы пасти овец, и говорит Иван остальным: «Будем, братцы, пасти овец по очереди – по столько дней, сколько каждый из нас имеет овец» По сколько дней должен каждый крестьянин пасти овец, если известно, что у Ивана в два раза меньше овец, чем у Петра, у Якова в два раза меньше, чем у Ивана; Михаил имеет овец в два раза больше, чем Яков, а Герасим – вчетверо меньше, чем Петр?

Решение:

Из условия нам известно, что и  у Михаила и у Ивана вдвое больше овец, чем у Якова, у Петра вдвое больше, чем у Ивана, и, значит, вчетверо больше, чем у Якова. Но тогда у Герасима столько же овец, сколько имеет их Яков. Общее число овец поэтому в 4+2+1+2+1=10 раз больше, чем число овец у Якова. Получаем, что у Якова 1 овца, тогда у Михаила и Ивана по 2 овцы, у Петра 4 и у Герасима 1 овца. Соответственно каждый из них должен пасти овец столько же дней.

Задача 2. Условие:

Далеко ли до деревни? Прохожий, догнавши другого, спросил: «Как далеко до деревни, которая у нас впереди?» Ответил другой прохожий: «Расстояние от той деревни, от которой ты идешь, равно третьей части всего расстояния между деревнями, а если еще пройдешь 2 версты , тогда будешь ровно посередине между деревнями». Сколько верст осталось еще идти первому прохожему?

Решение:

До середины расстояния между деревнями первому прохожему нужно идти 2 версты, что составляет 1/2-1/3=1/6 всего расстояния между деревнями. Поэтому расстояние между деревнями равно 12 верстам, к моменту встречи первый прохожий прошел 1/3*12=4 версты и осталось ему идти еще 8 верст.

Задача 3. Условие:

Сколько стоит кафтан? Хозяин нанял работника на год и обещал заплатить ему 12 рублей и впридачу дать кафтан. Но тот, проработав только 7 месяцев, захотел уйти. При расчете он получил кафтан и 5 рублей денег. Сколько стоит кафтан?

Решение:

Знаем, что работник не доработал у хозяина 5 месяцев и недополучил 7 рублей. Значит, месячная его плата в деньгах составляет 7/5 рубля, или 1 рубль 40 копеек. Плата за 7 месяцев составит 7*7/5=9 4/5 рубля, или 9 рублей 80 копеек.

Но работник за это время получил 5 рублей и кафтан. Значит, кафтан стоит 4 рубля 80 копеек.

ВОПРОС

 Определи вид задачи: «В конкурсе приняли участие  9 учеников. Из них 3 участника читали стихи, 2 – танцевали, а 4 – пели. Верно ли утверждение, что у жюри было 24 варианта выбора трех победителей?» Комбинированный