Есеп шығару үлгісі

№1. Дж. Томсон моделіндегі бір электронды атомның тербеліс жиілігін табу керек.

Берілгені:

N=1

Тербеліс жилігін табу керек.

Шешуі: Томсонның моделі бойынша атом оң және теріс электронмен зарядталған сфера. Оның зарядтары көлем ішінде бірқалыпты орналасады. Сондықтан атом бейтарап.

Атом центрінен r қашықтықтағы электронға f – күші әсер етеді.

f= (-e)E= - (1)

k= (2)

Ал есептің шарты бойынша электрон тепе– теңдік қалпынан ауытқып тербелсе, оның тербеліс жиілігі

(3)

болатыны механика бөлімінен белгілі және

(4)

(2)  (3) - ге қойсақ, онда

(5)

мұндағы e – электрон заряды. m - электрон массасы. R – атом радиусы.

(4) және (5) теңдіктерді теңестірсек, онда (6)

№2.Томсон моделіндегі бір электронды атом, қанша спектрлік сызыққа сәулеленеді? Толқын ұзындығы = 5000 А⁰ сәуле шығару үшін, атом радиусы қандай болу керек?

Берілгені:

= 5000 = 0,5 

Табу керек:R - ?

Шешуі:Электронға атом центрінен центрге тартқыш және квазисерпімді күш әсер етуге тиіс:

f= -kr = - (1)

r=x; ауытқу шамасы.

k= m онда f=- m  r ; бұл күш электр тарапынан әсер ететін күшке тең, онда

f=(-e)E = - (2)

(3)

Гармониялық тербелістегі электрон бір жиілікте тербеледі, онда:

(4)

= (5)

немесе = (6)

онда R= ( )^1/3= 1,25 

мұндағы, e – заряд; тыныштық массасы; с – жарық жылдамдығы;  - толқын ұзындығы;

R – атом радиусы.

№3.Заряды Ze ядроны альфа бөлшегімен атқылағанда бөлшектің ауытқу бұрышы (θ) ең жақын келу (нысаналы) қашықтығына () байланысты екендігін мына формулада көрсетілген:

сtg . Осы формуланы дәлелдеңдер.

Мұндағы альфа бөлшегінің массасы, - оның жылдамдығы.

Шешуі: Резерфордтың байымдауы бойынша атом зарядтар жүйесінен тұрады, оның центрінде, ауыр заряды (+Ze), өлшемі (радиусы) см ядро орналасқан. Бөлшек ядроға жақын келгенде,оған кулондық күш әсер етеді:

 = (1)

Бөлшектің траекториясы гипербола болады. Ауытқу бұрышы – Ө, ең жақын келу нысаналы қашықтығы - . Бөлшектің нысаналы қашықтығы ядро жазықтығына жақын келген сайын, ауытқу бұрышы (Ө) артады.

Энергияның сақталу заңы бойынша ядродан қашықтаған бөлшектің импульс шамасы (Р), шашырағанға дейінгі импульсына ( ) тең (P = ).

Шашырау нәтижесінде импульс өсімшесі = 2 = 2 (2)

Ал Ньютонның II заңы бойынша = dt (3)

мұндағы - Р бағытындағы күш векторының проекциясы. Онда  = - - 

_n = сos = Sin ( + ) = Sin (+ ) (4)

Осы (4)-ті (3)-ші теңдікке қойсақ, онда

= (5)

Альфа бөлшегіне әсер ететін күш центрлік, олай болса альфа бөлшегінің импульс моменті тұрақты ( ), бастапқы күйінде қалады. ;  = алмастырсақ, онда интеграл оңай шешіледі.

= (6)

(2) мен (6) теңдеуді теңестірсек ; (7)

Жауабы: сtg = .

№4. а) Резерфорд тәжірибесіндегі альфа бөлшектің кинетикалық энергиясы Мэв болса. Алтын атомының (Z = 79) ядросына, альфа бөлшегі қаншалықты жақын келе алады (қандай r қашықтыққа дейін жақын келеді)?

б) Резерфорд тәжірибесінде алтын фольга алынған деп есептесек, альфа бөлшектер Ө  90 бұрыштарға шашырау үшін () ең жақын келу (нысаналы) қашықтық қандай болатынын есептеп табу керек.

в) Осы шарттағы ядроның тиімді қимасы (әсерлесу қимасы) қандай шамада болады?

г) Алтын фольганың қалыңдығы d = 6  м болғандығы Ө  90 немесе одан үлкен бұрыштарға ауытқитын альфа бөлшектердің салыстырмалы санын анықта.

Берілгені:

Мэв

Z = 79

Табу керек: а) r - ? б)  - ? в)  - ?г) n - ?

Шешуі:а) Ядроға ең жақын аралыққа келгенде альфа бөлшектің кинетикалық энергиясы ( ), ядро жүйесінің потенциалдық энергиясына ауысады:

=

r =

Осы теңдеуден r – ді табамыз.

= 2,8  . r=2,8

Сонда алтын атом ядросының радиусы шамасында немесе бұдан кішімәнге тең болады, ол атом радиусынан есе кіші.

б) r – мәні үшін Ө  90 болса, онда ең жақын келу қашықтығы:

 = ctg = =1,48

в) Ө  90 болғандағы ядроның тиімді қимасын () табамыз.

г) Бірлік көлемдегі ядросанын мына формуламен табуға болады:

n = d  ; n=5,9

d = 1,93  кг/ - алтынның тығыздығы;

M = 0,197 кг / моль – мольдық масса;

= 6,02  -Авогадра тұрақтысы

Жауабы: а) r = 2,8  ; б)  = в)  =  ; г) n = 5,9  .

№5. Резерфорд – Бор моделін пайдаланып, электронның орбита бойындағы қозғалыс жылдамдығын қорытып шығарып, сутегі атомының бірінші және екінші дөңгелек орбитадағы жылдамдығын анықта.

Берілгені:

Табу керек: ₁ - ? ₂ - ?

Шешуі:Дөңгелек орбита бойымен қозғалған электронға центрден тепкіш күш және Кулондық күш әсер етеді. Ол күштер электронның стационар орбита бойымен қозғалуынқамтамасыз етеді, онда олар өзара тең.

; (1)

; (2)

екеуін теңестіріп, одан жылдамдықты анықтаймыз.

; = ; (3)

Бор постулаты бойынша электронның импульс моменті: (4)

(5)

(5) теңдікті(3) теңдікке апарып қойсақ:

= = яғни

Жауабы: Егер n = 1 болса, онда  2,19 Мм/с.

ал n = 2 болса, онда М м/с.

№6. Электронның стационар орбитасы орнықты күйде болады. Квантталу шарты бойынша электрон орбитаcының радиусының мүмкін формуласын қорытып шығарып, сутегі атомы үшін электронның бірінші және екінші орбиталарының радиусын тап.

Берілгені:

Табу керек:

Шешуі: Алдыңғы есептердегідей, электронның импульс моменті:

; (1)

= n ; (2)

; (3)

(3) теңдіктегі жылдамдықтың мәнін (1) теңдікке қойсақ:

m  = ; (4)

одан

= (5)

Жауабы: Егер = 1 болса, онда Пм; ал болса, онда 212,4 Пм.

№7. Әрбір электрондық орбита белгілі энергетикалық деңгеймен анықталады да, электронның толық энергиясы кинетикалық және потенциалдық энегиялар жиынтығынан тұрады.

Осы n – орбитадағы толық энергияны қорытып шығарыңдар.

Шешуі:

E = (1)

(2)

Алғашқы есептерге байланысты дөңгелек орбита бойымен қозғалған электронға, кулондық және центрден тепкіш күштер әсер етеді. Бор постулаты бойынша электронның импульс моментін тұрақты мәндермен анықтауға болады. Сонда k – орбитадағы электронның жылдамдығы:

= (3)

(3) теңдікті (2)теңдікке қойсақ, онда

; (4)

n – орбитаныңрадиусы ; (5)

Ал потенциалдық энергия: = ; (6)

(3) теңдікті (6) теңдікке қойсақ:

; (7)

Сонда толық энергия:

E= - ;E = - ; n = 1, 2, 3… E=-

n-нің мәндерін қою арқылы әрбір орбитадағы электронның толық энергияларын анықтаймыз.

№8.Негізгі күйдегі сутегі атомының энергиясы 12,09 эв тең, фотон арқылы қоздырғанда, электрон орбитасының радиусы қанша есе артады?

Берілгені:

m = 1

= 12,09 эв

Табу керек:n - ?

Шешуі:Фотонның энергиясы ; (1)

Толқындық санның – толқын ұзындықпен байланысы:

 = ; ; (2)

- Бальмердің әмбебап формуласы. Сутегі үшін Z=1;

Сонда E = = R h с .

Мұндағы m = 1, 2 . . . ал n = m + 1;

m = 1 болса , E = Rhс - .

n =

Есептің шарты бойынша қозған күйдегі радиусы, негізгі күйдегі орбита радиусынан қанша есе артық болады?

есе.

№9.Сутегі атомының ядросын, радиусы см шеңбер бойымен айналғанда электрон, сәуле шығару арқылы энергиясы кеміп отырса, онда ол қанша уақыттан соң ядроға құлап түседі?

Шешуі:

Электрон кез келген уақыт мезетінде шеңбер бойымен бірқалыпты қозғалады деп алайық. Сонда Ньютонның II заңы бойынша: F = ma

(1)

(2)

(2) теңдіктің екі жағында екіге бөліп жіберсек, сонда

(3)

бұл кинетикалық энергияны береді.

Ал ядро өрісіндегі электронның толық энергиясы E = ; (4)

Классикалық электродинамика заңдарына сүйеніп, зарядталған бөлшектің сәулеленуге кеткен бірлік уақыт шығыны: = - ; – үдеуі.(5)

(3) теңдікпен (4) теңдікті ескере отырып, (5) теңдікті ; (6)

r мен e айнымалыларды ажыратып, dt; (7)

(7) теңдікті интегралдаймыз.

Сонда ден 0 –ге дейін, ал t;0 – ден - ге дейін:

 =  1,5  с болады.

№10. Электрон гармониялық тербеліске жақын, жиілікпен( тербеліп, өшетін тербеліске айналады. Қанша уақыттан кейін (∆t) ол өзінің бастапқы энергиясының 0,9 бөлігін жоғалтады.

Берілгені:

Табу керек:t-?

Шешуі:Классикалық электродинамика заңдарына сүйенсек, тербелген электронның онда шығын болған энергиясы мынадай формуламен өрнектеледі:

(1)

мұндағы Е - энергиясы, - электрон жылдамдығы, - үдеуі.

Егер электронның тепе-теңдік ауытқуы:

(2)

(3)

(4)

мұндағы х - ауытқу шамасы, ω - дөңгелектік жиілік, а - тербеліс амплитудасы, онда электронның толық энергиясы (5)

Бірлік уақыттағы орташа энергия шығыны:

(6)

(5) теңдіктен (7)

(7) теңдікті-(6) теңдікке апарып қойсақ

(8)

Олай болса, электронның энергиясының орташа өзгеруі мынадай түрде өрнектеледі:

(9)

Бастапқы энергия мәнін Е₀ деп белгілесек, онда уақыт:

сан мәндерін қойсақ, онда

m - электрон массасы, c - жарық жылдамдығы, e - электрон заряды, - жилігі, E₀ - бастапқы энергиясы.

№11. Сутегімен дейтерий туралы мәлімет бойынша Ридберг тұрақтысы:

ал атомдық массасы:

физикалық шкала бойынша.

Фарадей тұрақтысы:

(физикалық шкала бойынша) Осы шартты пайдалана отырып, электрон үшін табу керек.

Шешуі: Сутегімен дейтерий үшін Ридберг тұрақтысы:

(1)

мұндағы М_Н және М_D –сутегімен дейтерийдің ядро массалары, осы (1) теңдіктен:

(2)

осы теңдіктің екі жағында (е) зарядқа көбейтсек, онда деп алсақ, онда

(3)

Олай болса электронның атомдық массасы Nm шамасы H мен D қарағанда аз шама, онда есепті шығару кезінде H-Nm және D-Nm мәндерін үлкен дәлдікпен қарастырудың қажеті жоқ. Сонда Nm=6,025·10²³·9,108·10^-28=5,49·10^-4; ал H-Nm=1,007593; D-Nm=2,014186;

Осы мәндерді (3) теңдікке қойсақ, онда