§3.9 Мозли заңы

Атомның әрбір электроны, ядро мен «ішкі» және «сыртқы» электрондар тудыратын электр өрісінде болады. Сыртқы электрондар өрісінің, ішкі электрондар энергиясына ешқандай әсері жоқ деседе болады. Сондықтан рентгендік деңгейлердің энергиясы бірінші жуықтауда сутегі тәрізді атомдар формуласына ұқсас формуламен есептеледі, ол алғашқы және соңғы күйлердегі энергиялардың айырымына тең:

(3.9.1)

(3.9.1) формуланың сутегі атомы формуласынан айырмашылығы, бұл формулада σ-түзетуі бар. Осы түзету тасалау тұрақтысы деп аталады, ол ядро өрісінің электрондарымен экрандалуын ескереді. σ-n мен l-ге тәуелді. Жеңіл атомдардың К-қабатындағы электрондар үшін осы қабаттың негізінен екінші электронның экрандалушы әсеріболады. Осы жағдайда σ≈1. Жеңіл атомдардың L қабатының электрондары үшін σ≈8; σ-түзетуі әртүрлі жеңіл атом спектрлеріндегі бірдей сызықтар үшін тұрақты болады. Мысалы 20<z<30 аралығындағы болатын барлық атомдардың K_α сызығы үшін σ≈1,13. Осы формула бойынша элемент неғұрлым ауыр болса, оның шығаратын сипаттауыш рентген сәулелерінің толқыны соғұрлым қысқа болатыны көрінеді.

(3.9.2)

Есеп шығару үлгісі

№1. Еркін бөлшектер үшін Шредингер теңдеуінің жалпы шешімін тап.

Шешуі: Массасы-m₀, бағыты–х өсімен бағытталған, микробөлшектің еркін Гамильтоны, мынадай түрде жазылады:

(1)

Сондықтанда Шредингер теңдеуі

(2)

ал (3)

(3)-ші теңдеуді (2) теңдеуге қойып тұрақты Е айыруды енгізіп, екі теңдеу аламыз:

(4)

(5)

(5) теңдеудің шешімі e^ikxтүрінде болады, егер болса, онда шегі болады. (4) теңдеуді интегралдау нәтижесінде

мұндағы -де Бройль толқын жилігі, k-толқындық сан. (2) теңдеудің жалпы шешімі де Бройльдың толқынының суперпазициясы түрінде жазылады:

.

№2. Бөлшек потенциал шұңқыр ішінде орналасқан. Көршілес энергетикалық деңгейлердің Е_n+1,_nнен E_n-ге тең дейінгі энергия қатынастарының үш жағдайдағы: 1)n=3; 2)n=10; 3)n→∞айырмашылығын табыңдар. Алынған мәнінің нәтижесін түсіндір.

Берілгені: n=3;10;∞

Шешуі:Көршілес энергетикалық деңгейлер қатынастарына мынадай теңдіктерді:

Жауабы: 1)n=3; 0.78; 2)n=10; 0.21; 3)n→∞; 0;

№3. Қабырғасы шексіз биік тік бұрышты потенциал шұңғырдағы электрон энергиясы дискрет мәнге ие болғандағы Шредингер теңдеуінің шешімін көрсет.

Шешуі:U→∞ олай болса электрон II-ширекте 0≤х≤а кіші аралықта орналасқан. Осы электрон үшін Шредингер теңдеуі:

(1)

(2)

(3)

k (3)-теңдіктен (4)

(5)

(6)

sin ka=0; ka=nπ (7)

(8)

осы мәндерді (4) формулаға қойсақ, онда (9)

Сонда энергия айырымы болады. Бұл есептің шешуі болып табылады.

№4. t=0 уақыт моментінде ерін электрон күйі мынадай функциямен өрнектеледі:

₍₁₎

Бөлшектің А-коэффицентін және локолизация облысын анықта.

Шешуі:k-коэффициент А, мынадай шарт бойынша анықталады:

₍₂₎

Интегралдау шартының нәтижесінде

₍₃₎

Бөлшектің локализация облысын анықтайық:

₍₄₎

бұл функция х=0 нүктеде максималь мәнге ие болады және болғанда тез кемиді.

№5.Қабырғалары шексіз биік бір өшемді потенциалдық шұңқырда бөлшек негізгі күйде тұр. Бөлшек қабырғаға қандай күшпен әсер ететінін және алғашқы үш күйдегі энергияны анықта. 1)Потенциалдық шұңқырдың енділігі l=10^-10м. 2)алғашқы энергетикалық деңгейлер n=1;2;3 мәнге ие болады.

Берілгені:

а) l=10^-10м

б)n=1;2;3;

Табу керек:

Шешуі: а) Егер бөлшек негізгі күйде тұрған болса (II) онда потенциалдық шұңқырдың ұзындығына де Бройлдың жарты толқын ұзындығы орналасады:

Онда бөлшек импульсы Шұңқыр қабырғасына соқтығысқан бөлшек абсолют серпімді шағылады, онда импульс өзгерісі болады. Бұлай болу себебі бөлшекті қабырға Р импульспен тебеді. 1) Олай болса орташа қысым күші импульс өзгерісін бірлік уақыттағы соғылыс санына (N) көбейткенге тең.

б) Бөлшек қабырғадан келесі қабырғаға дейін 2l жол жүреді. 2) Бөлшек энергиясы:

_{мәндерін қойсақ, онда}

Жауабы:1)n=1; E₁=38эВ

2)n=2; E₂=1,5∙10² эВ

3)n=3; E₃=3,4∙10³ эВ.

№6. Ұзындығы2,5м үстел бойымен қозғалған массасы 1,5г шарикті қарастырайық. а)Осыған ұқсас бөлшек үшін бір өлшемді потенциал шұңқырдағы толқындық функцияны және энергияны табу керек. б) егер шарик 50км/сағ жылдамдықпен қозғалса кванттық санның жуық мәні қандай болады?

Берілгені:

m=1.5г=1.5∙10^-3кг

l=2.5м

Табу керек:E_n-?n-?

Шешуі: а)Бөлшек энергиясы потенциал шұңқыр ішінде нөлге тең де, ал шұңқырдан тыс аймақтарда шексіз үлкен мәнге ие болады. Толқындық функция шұңқыр ішінде үздіксіз, бір мәнді және шектелген болуға тиіс, ал шұңқырдан тыс аймақтарда ол нөлге тең болады. Осы талаптардың бәрін мына функция қанағаттандырады.

n-бүтін оң сан, x=0; x=l

а) Бөлшек энергиясы

_Егер

_{б) n-нің мәнін шариктің кинетикалық энергиясы бойынша анықтаймыз:}

Жауабы: а)E_n=0,586∙10^-65Дж

б)n=1,57∙10³²

№7. Вольфрамды жылдам электрондармен атқылағанда алынған сипаттаушы рентген сәулесінің K_α-сызығының толқын ұзындығын және энергиясын анықтаңдар.

Берілгені:

₇₄W¹⁸³

z=74

Табу керек: -? -?

Шешуі: Жылдам қозғалған электрон, атомның электрондық қабатының ең тереңгі яғни ядроға жақын жатқан K қабатынан элктронды бөліп шығарады. Сонымен K-қабатқа жоғары жатқан L, M, N қабаттарынан электрондар ауысады. L-қабаттан K-қабатқа ауысқан электрон интенсивтігі анағұрлым жоғары сипаттаушы рентген спектрінің K_α-сызығын құрайды (шығарады). L-қабаттағы электрон ядро өрісінде болып заряды Ze бір электрон зарядына әлсірейді:

(1)

Z₁-эффективті заряд деп аталады.

Электронның Lқабаттан Kқабатқа ауысқанда сериалды формуланы пайдалануға болады.:

(2)

алмастырып (3)

немесе (4)

(5)

иондау энергиясы. Сутегі үшін иондау энергиясы E_i=13.6ЭВ

Жауабы: 54.4 КэВ;

№8. Молибденнің K_α-сызығын жилігін, толқын ұзындығын және осы сызыққа сәйкес келетін квант энергиясын жуықтап шығарыңдар.

Берілгені:

z=42

R=1.1∙10^-7м^-1

c=3∙10⁸

m=1; n=2

_{Табу керек:}

Шешуі: Есептің шарты бойынша K_α-сызығын құрау үшін электрон L-қабаттан K-қабатқа бір электрон ауысады, олай болса заряды z-1 болады.

Осы формуланың екі жағында С-жарық жылдамдыққа көбейту арқылы:

ал энергиясы

№9. Рентген түтігіне түсірілген потенциал айырымы 10кВ болғандағы, электрон жылдамдығын анықта.

Берілгені:

U=10кВ=10⁴В

_{Табу керек:}

_Шешуі:

Жауабы:

№10. Толқын ұзындығы λ=0.1нм фотон тыныштықта тұрған еркін электроннан -қа шашырайды. Сонда серпілген электрон қандай энергия қабылдайды?

Берілгені:

Табу керек: E_сер- ?

Шешуі: Шашыраған рентген сәулелерінің спектрінде толқын ұзындығы λ-ға тең бастапқы сәулемен қабат толқыны оданда ұзын -қа тең сәуле бар екені байқалады. Бұлардың айырымы ол тек шашырау бұрышына байланысты болады. Сонда бастапқы сәулелер бағыты мен шашыраған сәулелер бағыты арасындағы шашырау бұрышын -деп белгілесек, сонда

(1)

Мұндағы -тәжірибе арқылы анықталған. Энергияның сақталу заңы бойынша, серпілген электрон қабылдайтын энергия, шашыраған кезде фотонның осынша энергиясы кемиді. Онда

(2)

Жауабы:∆Е=290эв

№11.Комптон эффектісінің нәтижесінде фотон электронмен соқтығысқанда 90⁰ бұрышқа шашыраған. Шашыраған фотон энергиясы 0.4МэВ. Шашырағанға дейінгі фотон энергиясын анықта.

Берілгені:

Табу керек: Е₁- ?

Шешуі: Комптон формуласын пайдаланып фотонның алғашқы энергиясын табу керек.

(1)

(2)

еркін электроннан шашырағандағы фотонның толқын ұзындығының өзгеруі.

(1)-(2)-теңдеуді теңестіріп, энергияға келтірейік:

(3)

(с-көбейтсек)

(4)

(5)

(6)

(7)

Е₀ –электронның тыныштық энергиясы, m₀–тыныштық массасы.

Жауабы: