8. Интервальная оценка функции регрессии
Точечный
прогноз индивидуального и среднего
значений зависимой переменной определяется
статистикой
Интервальный прогноз среднего и индивидуального значений зависимой переменной определяется неравенствами:
,
где
– стандартная ошибка оценки среднего
значения зависимой переменной
определяется по формуле
.
– стандартная
ошибка оценки индивидуального значения
зависимой переменной
определяется по формуле
.
Пример.
1)
Сделать
вывод о характере зависимости между
(средней
ежегодной прибылью (в %) портфеля ценных
бумаг) и его риском, измеряемым с помощью
среднеквадратичного отклонения прибыли
(в
%) по отчетам о деятельности 30 инвестиционных
фондов США за период с 1954 по 1963 г.
Необходимые сведения о деятельности
фондов приведены в таблице 5.
Таблица 5
|
|
|
|
|
|
1 |
14,6 |
16,3 |
16 |
15,1 |
19,1 |
2 |
10 |
9,2 |
17 |
11,4 |
14,1 |
3 |
10,5 |
13,5 |
18 |
17,4 |
21,8 |
4 |
12,0 |
16,3 |
19 |
11,3 |
12,5 |
5 |
11,9 |
15,6 |
20 |
10,0 |
10,4 |
6 |
12,4 |
12,1 |
21 |
16,2 |
20,8 |
7 |
14,8 |
16,8 |
22 |
17,6 |
22,7 |
8 |
15,7 |
19,3 |
23 |
14,4 |
17,8 |
9 |
10,9 |
13,7 |
24 |
10,4 |
10,2 |
10 |
14,4 |
15,9 |
25 |
13,1 |
16,0 |
11 |
11,0 |
11,9 |
26 |
10,7 |
13,3 |
12 |
15,2 |
19,2 |
27 |
14,4 |
19,4 |
13 |
14,6 |
18,7 |
28 |
16,1 |
20,9 |
14 |
16,4 |
21,5 |
29 |
11,3 |
12,0 |
15 |
16,0 |
21,7 |
30 |
13,8 |
16,9 |
Решение. Корреляционное поле наблюдений, соответствующее приведенным в таблице данным, приведено на рис. 36.
Согласно графику, все точки расположены вблизи некоторой мыслимой прямой, что дает основание предположить линейный характер регрессионной зависимости между переменными. Учитывая также, что амплитуда колебаний прибыли практически не меняется при ее росте, имеются веские основания для описания зависимости между переменными и с помощью модели (4.1).
Рис. 36. Зависимость между средней ежегодной прибылью портфеля и его риском
2)
Найти МНК-оценки неизвестных параметров
линейной регрессионной модели (4.1),
описывающей зависимость между средней
ежегодной прибылью
и среднеквадратичным отклонением
Выписать оценку функции регрессии,
выражающей эту зависимость. Дать
интерпретацию ее коэффициентов.
Решение. Во-первых, вычислим вспомогательные суммы:
,
а затем необходимые выборочные характеристики:
Найдем искомые оценки:
Поэтому уравнение регрессии (1.6) примет вид
Вывод. Увеличение среднеквадратичного отклонения на 1% приводит к увеличению ежегодной прибыли по портфелю ценных бумаг в среднем на 0,58%. Если инвестиционный портфель безрисковый, то его прибыль в среднем составит 4,01%.
3) Оценить силу линейной взаимосвязи между (средней ежегодной прибылью (в %) портфеля ценных бумаг) и его риском (в %). С помощью выборочного коэффициента корреляции найти МНК-оценки неизвестных параметров парной линейной регрессионной модели.
Решение. Для нахождения коэффициента корреляции найдем выборочную дисперсию зависимой переменной:
Таким
образом, коэффициент корреляции будет
равен:
Вывод. Между (средней ежегодной прибылью портфеля ценных бумаг) и его риском существует сильная линейная прямая взаимосвязь, о чем говорит большое положительное значение коэффициента корреляции.
Найдем МНК-оценки с помощью коэффициента корреляции:
4)
На уровне значимости
проверить гипотезу о значимости
коэффициента корреляции.
Решение. Для проверки гипотезы о значимости коэффициента корреляции вычислим значение t-статистики критерия:
.
Определяем по табл.А3 критическое значение статистики критерия:
.
Так
как фактическое значение статистики
критерия больше критического, то гипотезу
отвергаем, принимая
.
Вывод. На уровне значимости можно утверждать, что коэффициент корреляции значим.
5) Определить коэффициент детерминации и сделать вывод о качестве построенной модели. На уровне 0,05 проверить значимость этой модели.
Решение.
Для
нахождения
определим
–
расчетные значения зависимой переменной.
Затем последовательно найдем:
.
Как видно, разложение полной суммы квадратов является верным: 161,7=16,67+145,03.
Найдем коэффициент детерминации:
Коэффициент
детерминации может быть найден также
с помощью замечания 1:
.
Вывод.
Доля
дисперсии зависимой переменной
объясненная построенной линейной
моделью, составляет 90%, остальные 10%
дисперсии объяснить не удалось.
Результаты промежуточных вычислений содержатся в табл. 6.
Таблица 6
i |
|
|
|
i |
|
|
|
1 |
14,6 |
13,44 |
1,16 |
16 |
15,1 |
15,06 |
0,04 |
2 |
10 |
9,33 |
0,67 |
17 |
11,4 |
12,17 |
– 0,77 |
3 |
10,5 |
11,82 |
– 1,32 |
18 |
17,4 |
16,62 |
0,78 |
4 |
12,0 |
13,44 |
– 1,44 |
19 |
11,3 |
11,24 |
0,06 |
5 |
11,9 |
13,04 |
– 1,14 |
20 |
10,0 |
10,03 |
– 0,03 |
6 |
12,4 |
11,01 |
1,39 |
21 |
16,2 |
16,04 |
0,16 |
7 |
14,8 |
13,73 |
1,07 |
22 |
17,6 |
17,14 |
0,46 |
8 |
15,7 |
15,18 |
0,52 |
23 |
14,4 |
14,31 |
0,09 |
9 |
10,9 |
11,94 |
– 1,04 |
24 |
10,4 |
9,91 |
0,49 |
10 |
14,4 |
13,21 |
1,19 |
25 |
13,1 |
13,27 |
– 0,17 |
11 |
11,0 |
10,90 |
0,10 |
26 |
10,7 |
11,71 |
– 1,01 |
12 |
15,2 |
15,12 |
0,08 |
27 |
14,4 |
15,23 |
– 0,83 |
13 |
14,6 |
14,83 |
– 0,23 |
28 |
16,1 |
16,10 |
0,00 |
14 |
16,4 |
16,45 |
– 0,05 |
29 |
11,3 |
10,95 |
0,35 |
15 |
16,0 |
16,57 |
– 0,57 |
30 |
13,8 |
13,79 |
0,01 |
Проверим гипотезу о значимости модели. Вычислим значение статистики F-критерия по формуле
.
Критическое значение статистики критерия находим по табл. А6:
. Так
как
,
гипотезу о значимости модели следует
принять.
Вывод:
на
уровне значимости 0,05 можно утверждать,
что модель, характеризующая зависимость
(средней
ежегодной прибыли портфеля ценных
бумаг) от риска портфеля
является значимой.
6) Определить оценку дисперсии ошибки модели и стандартные ошибки параметров модели.
Решение.
Воспользовавшись
формулой, получим
поскольку число параметров модели равно
.
Стандартная ошибка регрессии
В
нашем примере стандартные ошибки
неизвестных параметров модели
равны соответственно:
7)
На уровне значимости 0,02 проверить
гипотезу о значимости коэффициента
регрессии
.
Решение.
Проверим
гипотезу
(коэффициент регрессии незначим) против
конкурирующей гипотезы
(коэффициент регрессии значим). Вычислим
значение t-статистики:
.
По табл. А3 найдем двустороннюю квантиль
распределения Стьюдента:
Поскольку
,
то следует принять гипотезу о значимости
параметра регрессии
.
8) Найти 98%-е доверительные интервалы для неизвестных параметров регрессии.
Решение.
Воспользовавшись
табл. А3 при
,
вычислим двустороннюю квантиль:
.
Найдем доверительный интервал для
параметра
:
,
.
Найдем теперь доверительный интервал для параметра :
.
Вывод. С вероятностью 0,98 можно утверждать, что значение параметра находится в пределах от 2,48 до 5,54, а параметра – в пределах от 0,49 до 0,67.
9) Найти 90%-й прогноз среднего значения прибыли по портфелям ценных бумаг, среднеквадратичное отклонение прибыли которых 19,6%.
Решение.
Поскольку
,
точечный прогноз величины
равен
.
Последовательно вычислим
.
По табл. А3 находим квантиль распределения Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности 0,90:
.
Таким образом, доверительный интервал для среднего значения прибыли по портфелям ценных бумаг, среднеквадратичное отклонение прибыли которых составляет 19,6%, будет иметь вид
,
.
Вывод. С вероятностью 0,9 можно утверждать, что среднее значение прибыли по портфелям ценных бумаг со среднеквадратичным отклонением прибыли 19,6% будет находиться в пределах от 15,06 до 15,7%, если среднеквадратичное отклонение этих доходов составляет 19,6%.
10) Найти 90%-й прогноз для значения прибыли по портфелям ценных бумаг, среднеквадратичное отклонение прибыли которых 19,6%.
Решение. Стандартная ошибка прогноза равна:
,
а доверительный интервал для значения прибыли определяется неравенствами:
,
Вывод: с вероятностью 0,9 можно утверждать, что значение прибыли по портфелям ценных бумаг, среднеквадратичное отклонение прибыли которых составляет 19,6%, будет находиться в пределах от 14,04 до 16,72%.