82. Решение уравнений Приближенные методы

На уроках математики вас учили искать решение уравнения в виде формулы, выражающей неизвестную величину через известные. Например, решение уравнения при можно записать в виде . Такое решение называется аналитическим, оно может быть использовано для теоретического исследования (изучения влияния исходных данных на результат).

О днако не все уравнения можно (на современном уровне развития математики) решить аналитически. Иногда решение есть, но очень сложное. Например, уравнение так просто не решается. В этом случае приходится использовать другие методы решения, например, графический: построить по точкам графики функций, стоящих в левой и правой частях равенства, и посмотреть, где они пересекаются. Затем решение можно уточнять, уменьшая шаг при построении графика до получения требуемой точности.

Если нужна высокая точность, графический метод требует очень большого объема вычислений, который имеет смысл поручить компьютеру. Однако, нужно как-то учесть, что компьютер не способен «посмотреть» на график, и для уточнения решения может использовать только числовые данные. Компьютерный алгоритм решения уравнения может выглядеть примерно так:

1. выбрать интервал для поиска решения (обычно предполагается, что на этом интервале решение есть, и притом только одно);

2. с помощью некоторого алгоритма уточнить решение, перейдя к меньшему интервалу ;

3. повторять шаг 2, пока ширина интервала, в который мы «загнали» решение, не станет достаточно мала.

Здесь не совсем ясно, что значит «пока ширина интервала не станет достаточно мала». Обычно задается нужная точность : это означает, что отклонение полученного решения от истинного не должно быть больше . Если корень уравнения находится в интервале , то в качестве решения лучше всего взять его середину . В этом случае погрешность будет минимальной: не больше половины ширины интервала. Поэтому цикл нужно остановить, когда ширина интервала станет меньше, чем .

Часто используется другой вариант, когда интервал не нужен, а требуется знать только одну точку вблизи решения:

1. выбрать начальное приближение около решения;

2. с помощью некоторого алгоритма перейти к следующему приближению , которое находится ближе к точному решению ;

3. повторять шаг 2, пока на очередном шаге решение не изменится на величину, меньшую, чем допустимая погрешность .

Подобные методы решения уравнений называются приближенными. Их суть в том, что решение последовательно уточняется до тех пор, пока не будет найдено с требуемой точностью. Поскольку при каждом уточнении выполняются одинаковые действия, такие методы называют итерационными (от лат. iteration – повторение).

Приближенные методы имеют ряд недостатков:

• получается приближенное решение, а не точное; это значит, что нельзя написать , нужно использовать знак приближенного равенства: (отметим ещё раз, что практически все вычисления с дробными числами на компьютере выполняются неточно);

• мы получаем не формулу, а число, по которому невозможно оценить, как меняется решение при изменении исходных данных (сложно выявить зависимость от параметра);

• объем вычислений может быть слишком велик, часто это не позволяет использовать приближенные методы в системах реального времени;

• не всегда можно оценить погрешность результата.

О днако в некоторых практических случаях приближенные методы более полезны, чем аналитические. Во-первых, часто получение аналитического решения невозможно или требует значительных усилий, тогда как приближенные методы позволяют достаточно быстро решить задачу с заданной точностью. Во-вторых, при компьютерных расчетах (с конечной точностью) вычисления по «точным» аналитическим формулам часто могут давать очень неточный результат из-за вычислительной неустойчивости метода. Нередко для таких задач (например, для решения систем линейных уравнений) известны приближенные методы, которые дают значительно более точное решение.