3.2. Последовательная rlc-цепь. Классическое решение

Пусть через последовательную RLC-цепь (рис. 3.4) протекает гармонический ток

i = I_m cos(ωt + α).

Найдем напряжение на зажимах цепи

u = u_R + u_L +u_C.

Воспользуемся соотношениями, связывающими напряжения u_R, u_L, u_C с токами через них:

u = RI_m cos(ωt + α) + ωLI_m cos(ωt + α + π/2) + cos(ωt + α – π/2).

Принимая во внимание, что cos(ωt + α – π/2) = – cos(ωt + α + π/2), получим

u = RI_m cos(ωt + α) + (ωL – )I_m cos(ωt + α + π/2).

Величину (ωL – 1/ωC) = x_L – x_C = x называют реактивным сопротивлением. Реактивное сопротивление x может быть больше и меньше нуля. Если ωL > 1/ωC, то x > 0. Если ωL < 1/ωC, то x < 0.

Напряжение на активном сопротивлении называют активной составляющей напряжения, а напряжение не реактивном сопротивлении – реактивной составляющей напряжения.

На рис. 3.5 приведена векторная диаграмма последовательной RLC-цепи. Из диаграммы видно, что

.

Вынесем I_m за знак корня. Тогда

.

Величину

называют полным сопротивлением рассматриваемой цепи.

Из последнего соотношения следует, что амплитуды и действующие значения напряжения и тока в последовательной RLC-цепи связаны соотношением, аналогичным закону Ома:

U_m = zI_m; U = zI.

Сдвиг фаз между напряжением и током

.

Итак,

u = U_m cos(ωt + α + φ),

т. е. напряжение на последовательной RLC-цепи изменяется также по гармоническому закону, но сдвинуто по фазе относительного тока на угол φ, причем |φ| ≤ π/2.

Если x = x_L – x_C = 0, то такой режим работы электрической цепи называют резонансом напряжений. В этом режиме ток и напряжение в последовательной RLC-цепи совпадают по фазе.

На основании векторной диаграммы можно построить треугольники напряжений (рис. 3.6). Из этих треугольников следует:

;

U_а = U cos φ;

U_р = U sin φ.

Если все стороны треугольника напряжений разделим на ток I, то получим прямоугольный треугольник сопротивлений (рис. 3.7), из которого следует:

;

R = z cos φ;

x = z sin φ.

Рассмотрим два частных случая. В последовательной RL-цепи

;

;

0 < φ < π/2.

В последовательной RC-цепи

;

;

– π/2 < φ < 0.

3.3. Последовательная rlc-цепь. Метод комплексных амплитуд

До сих пор установившиеся значения напряжений и токов мы находили путем решения интегродифференциальных уравнений. Однако мы рассматривали простейшие цепи. По мере усложнения цепей, решение интегродифференциальных уравнений становится крайне затруднительным.

В 1883 – 1884 г. американские инженеры Штейнметц и Кеннели предложили для расчета установившихся режимов линейных электрических цепей при гармоническом воздействии метод комплексных амплитуд (комплексный метод, символический метод). Этот метод основан на символическом изображении гармонических функций времени комплексными числами и позволяет перейти от решения интегродифференциальных уравнений к решению алгебраических уравнений.

Решение задачи методом комплексных амплитуд включает следующие этапы:

• после составления интегродифференциального уравнения равновесия цепи все гармонические функции времени заменяют их мгновенными комплексами. В результате такой замены интегродифференциальные уравнения преобразуются в алгебраические;

• решают полученные алгебраические уравнения и находят комплексные амплитуды искомых функций;

• переходят от комплексных амплитуд к гармоническим функциям времени.

Применим метод комплексных амплитуд к нахождению напряжения на зажимах последовательной RLC-цепи, по которой протекает гармонический ток

i = I_m cos(ωt + α).

На основании второго закона Кирхгофа для последовательной RLC-цепи нами было получено следующее уравнение:

.

Заменим гармонические функции времени соответствующими мгновенными комплексами:

;

;

;

.

В этих выражениях знак «↔» означает соответствие. Из последних двух соотношений следует, что

• операции дифференцирования во временной области соответствует операция умножения комплекса на jω.

• операции интегрирования во временной области соответствует операция деления комплекса на jω.

Подставим найденные величины в исходное уравнение баланса напряжений:

.

Сократив уравнение на e ^jωt, получим алгебраическое комплексное уравнение

. (3.1)

Вынесем ток за скобки:

.

Величину

называют комплексным сопротивлением или импедансом цепи.

Комплексное сопротивление Z может быть выражено в тригонометрической и показательной формах:

;

,

где – полное сопротивление цепи;

– аргумент комплексного сопротивления Z.

Из выражения (3.1) следует, что комплексные амплитуды напряжений на элементах цепи записываются следующим образом:

• на сопротивлении ;

• на индуктивности ;

• на емкости .

Величину называют комплексным индуктивным сопротивлением, а величину – комплексным емкостным сопротивлением.

С учетом введенных обозначений,

.

Итак, закон Ома для комплексных амплитуд имеет вид:

.

Разделив обе части этого равенства на , получим закон Ома для комплексных действующих значений:

.

Комплексная амплитуда искомого напряжения

.

Перейдем от комплексной амплитуды искомого напряжения к функции времени:

.

Это соотношение полностью совпадает с полученным ранее путем решения интегродифференциального уравнения.

Находя напряжение на последовательной RLC-цепи, мы получили (3.1), что комплексная амплитуда напряжения на ее зажимах равна сумме комплексных амплитуд напряжений на элементах цепи.

Обобщая полученный результат на произвольное количество ветвей, можно сформулировать второй закон Кирхгофа для комплексных амплитуд напряжений в контуре: алгебраическая сумма комплексных амплитуд напряжений в контуре равна нулю

,

где l – номера ветвей, входящих в рассматриваемый контур.

Поделив левую и правую часть последнего соотношения на , получим второй закон Кирхгофа для комплексных действующих напряжений в контуре:

,

т. е. алгебраическая сумма комплексных действующих напряжений в контуре равна нулю.