7. Закон сохранения импульса

Совокуп­ность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодействия между материальными точками механичес­кой системы называются — внутренними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (или изолированной).

n тел; m₁, m₂,.... m_n, и v₁, v₂,..., v_n.

— равнодейст­вующие внутренних сил — равно­действующие внешних сил

второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

где — импульс системы. Таким образом, производная по времени от им­пульса механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

В случае отсутствия внешних сил (рассматриваем замкнутую систему)

Последнее выражение и является законом сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

закон сохранения импуль­са — фундаментальный закон природы

ЗСИ связан с Однородностью пространства

8. Центр масс (центр инерции) механической системы и закон его движения.

Центром масс (или центром инерции) системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой в пространстве определяется ра­диус-вектором .

– масса системы. Скорость центра масс

Учитывая, что pi = m_iv_i , a есть импульс р системы, можно написать т. е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.

-закон движения центра масс. т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, приложенных к системе.

Из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается непо­движным.

9. Момент импульса и момент силы

Векторное произведение радиуса-вектора  материальной точки на ее импульс:  называют моментом импульса , этой точки относительно точки О

Вектор   иногда называют также моментом количества движения материальной точки. Векторную сумму моментов импульсов всех материальных точек системы называют моментом импульса (количества движения)   системы относительно точки О:

Векторы    и   взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости перпендикулярной оси вращения тела. Поэтому 

Момент импульса тела относительно оси вращения

т.е. Моментом силы F относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора r, проведенного из точ­ки О в точку А приложения силы, на силу F (рис. 25):

Здесь М — псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к F. Модуль момента силы

где — угол между r и F; r sin = l — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой О — плечо силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина M_z , равная проекции на эту ось вектора М момента силы, определенного относительно произвольной точки О данной оси z (рис. 26). Значение момента М_z не зависит от выбора положения точки О на оси Если ось z совпадает с направлением вектора М, то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:

10. Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс л материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами х, у, z._ теорема Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы т тела на квадрат расстояния а между осями: