3.2 Графический метод решения задачи линейного программирования.
Необходимо найти максимальное значение целевой функции
F
= 1103.5x1+1391x2 →
max, при системе ограничений:
62x1+37x2≤2294,
(1)
53x1+42x2≤2226,
(2)
25x1+50x2≤1250,
(3)
14x1+30x2≤420,
(4)
x1 ≥
0, (5)
x2 ≥
0, (6)
Шаг
№1. Построим область допустимых решений,
т.е. решим графически систему неравенств
(рис.2). Для этого построим каждую прямую
и определим полуплоскости, заданные
неравенствами (полуплоскости обозначены
штрихом).
Рисунок
2.
Шаг
№2. Границы области допустимых решений.
Пересечением
полуплоскостей будет являться область,
координаты точек которого удовлетворяют
условию неравенствам системы ограничений
задачи.
Обозначим
границы области многоугольника решений
(рис. 3).
Рисунок 2.
Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = 1103.5x1+1391x2 → max. Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 1103.5x1+1391x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (1103.5; 1391). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией (рис. 3 и 4).
Рисунок 3.
Рисунок
4.
Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (5) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых: x2=0 14x1+30x2=420 Решив систему уравнений, получим: x1 = 30, x2 = 0 Откуда найдем максимальное значение целевой функции: F(X) = 1103.5*30 + 1391*0 = 33105
Таким образом предприятию ЗАО «Звезда» следует выпускать только торцевые фрезы в количестве 30 штук в час, что позволит ему получить максимальную прибыль в размере 33105 руб. в час. или 264 840 руб. в день при 8 часовой рабочей смене.
Заключение.
В ходе работы над курсовым проектом была рассмотрена задача линейного программирования о производстве режущего инструмента на предприятии ЗАО «Звезда». Для решения задачи использовался графический метод. Получены следующие результаты:
Оптимальная прибыль от реализации продукции достигается при следующем производстве режущего инструмента: 30 шт торцевых фрез. От шпоночных фрез было решено отказаться. При этом прибыль от реализации составит 33105 руб. в час. или 264 840 руб. в день при 8 часовой рабочей смене.
Список используемых источников
1. АстафуровВ.Г., Колодникова Н. - Компьютерное учебное пособие, раздел “Анализ на чувствительность с помощью двойственной задачи”, Томск-2002.
2. Алесинская Т.В. - Задачи по исследованию операций с решениями.
3. Смородинский С.С., Батин Н.В. - Оптимизация решений на основе методов и моделей математического программирования: Учебное пособие.
4. Кононов В.А. - Исследование операций. Для продвинутых математиков.