§4. Экстремумы и строение графика.

Монотонность и знак производной.

Вспомним определение монотонного роста и убывания: если при выполняется , то функция монотонно возрастает, а если то монотонно убывает. Рассмотрим, как монотонность взаимосвязана со знаком 1-й производной.

Лемма. 1) тогда и только тогда, когда монотонно возрастает.

2) тогда и только тогда, когда монотонно убывает.

Доказательство. Рассмотрим функцию (это та самая функция, которая была в определении предела).

Предел при это и есть .

Возьмём . Если f мнонтонно возрастает, то при этом , то есть дробь положительна. Если функция положительна, то и её предел больше нуля, тогда .

Аналогично, если функция отрицательна, то и её предел меньше нуля, тогда .

Определение 1 (точки наибольшего, наименьшего значения в D).

Пусть функция f - функция одной переменной, т.е. отображает некоторое множество в . Точка называется точкой наибольшего (соответственно, наименьшего) значения в D, если . (соответственно, ).

Примечание. Здесь это область определения, может совпадать со всей числовой прямой, но не обязательно.

Определение 2. (максимум и минимум)

Пусть функция . Точка называется точкой максимума (минимума), если существует окрестность точки , такая, что . (для минимума ).

Для максимума и минимума есть общее название - «экстремум».

Локальных максимумов в смысле определения 2 может быть несколько или даже бесконечное количество. Например, график , здесь через каждые есть новый максимум, который выше того, что слева от него:

Понятие «максимум» отличается от понятия «наибольшее значение» тем, что для максимума требуется, чтобы функция была наибольшей в некоторой окрестности, а для наибольшего значения - во всей области.

Взаимосвязь между равенством нулю первой производной и экстремумом не однозначна. Так, функция имеет минимум в точке 0, но там не существует производная, то есть нельзя сказать, что . А для функции , , но при этом нет экстремума.

Рассмотрим подробно структуру функции в случае, когда производная не равна 0.

Теорема 1.

1). Если то:

при и при .

2). Если то:

при и при .

Доказательство. Рассмотрим дробь . Предел этой дроби при равен .

Если , то есть предел функции больше нуля, то в некоторой окрестности эта функция положительна. Для точки из правой полуокрестности, , верно , то есть .

Но так как дробь больше нуля, , тогда и числитель должен быть больше нуля. , тогда .

Если точка - в левой полуокрестности , тогда , то есть , и в положительной дроби будет отрицательный знаменатель, тогда и числитель должен быть меньше нуля. , тогда для точек .

Итак, справа от точки график функции выше, чем ордината , а слева - ниже. То есть, экстремума там точно нет.

Если то доказывается аналогично: в некоторой окрестности, то при то есть положительном знаменателе, должен быть отрицательный числитель, и тогда . А при знаменатель отрицательный, тогда числитель положительный, и .

Итак, теорема доказана.

Из Т.1 следует, что если производная в точке не равна 0, а является положительным или отрицательным числом, то экстремума точно нет.

По законам логики, если из А следует В, то из отрицания В следует отрицание А. Тогда можно вывести такой односторонний факт: если экстремум есть, то производная равна 0. Правда, только с оговоркой, что производная в той точке существует. Ведь как мы видели, для модуля производная может не существовать в точке 0.

Теорема 2. (Ферма) (необходимый признак экстремума).

Если функция дифференцируема в точке , и - точка экстремума, то .

Доказательство опирается на теорему 1. Если допустить, что точка экстремума, но производная не 0, то тогда производная в точке равна какому-то числу, положительному или отрицательному. А тогда по прошлой теореме, справа и слева от этой точки график то выше, то ниже, то есть не может быть экстремальным значением во всей окрестности.

Замечание. Если функция дифференцируема, а следовательно и непрерывна, то должна при возрастании из отрицательных значений в положительные пройти через 0. Если же разрывна, то можете перескочить через 0, так чтобы 0 не был знаением ни в одной точке. Поэтому эта теорема и не применима для функции . Для неё производная равна до начала координат, а потом сразу 1, проходит через разрыв 1 рода, то есть скачок, и производная в точке минимума не равна 0, а сразу перескочила в положительное значение.

Теорема 3. (достаточный признак экстремума на основе 1-й производной)

1). Если при и при то - точка максимума,

2). Если при и при то - точка минимума.

Доказательство.

Если до точки производная больше нуля, то это значит, что функция возрастает в левой полуокрестности. При возрастании, чем правее точка, тем больше в ней значение. Но ведь это правая граница множества . Таким образом, наибольшее значение во множестве .

При убывании, чем правее точка, тем меньше в ней значение. Но ведь это левая граница множества . Таким образом, наибольшее значение также и во множестве . Получается, что - наибольшее значение во всём множестве , а это и есть максимум.

Доказали подробно 1-й пункт, 2-й аналогичными рассуждениями с заменой неравенств на противоположные.

Итак, на стыке интервалов монотонного роста и убывания - точки экстремума. Таким способом и можно находить экстремумы. Кстати, для теоремы 3 всё равно, гладкая функция или точка излома (производная разрывна) в точке экстремума. Она применима и для функции .

Теперь становится ясно, почему у кубической параболы нет экстремума в точке (0,0): интервал роста сменяется снова на интервал роста, поэтому, хоть даже и производная равна 0, но экстремума там нет.

Пример. Найти экстремумы .

Решение. Найдём = . Корни 1 и 3. Выясним знак производной на каждом из интервалов , и . Для этого надо вычислить знак в какой-нибудь точке на каждом из этих интервалов. Желательно для удобства вычислений взять целое число как представителя интервала.

Например, , и .

. . .

Таким образом, в точке рост сменяется убыванием, точка максимума. В точке убыванием сменяется ростом, точка минимума. Можно вычислить и ординаты, чтобы более подробно нарисовать график. Точки экстремума (1, 4/3) и (3, 0) . Вот график:

Теорема 4. (достаточный признак экстремума на основе 2-й производной)

Если функция дважды дифференцируема, и , то:

при - то в точке минимум,

при в точке максимум.

Доказательство.

Если вторая производная больше нуля, значит, первая производная возрастает при прохождении через точку . То есть, до точки она была отрицательна, а после положительна. Т.е. переходит из - в + , то есть точка на стыке интервалов убывания и роста. По теореме 3 это и означает, что там минимум. Изобразим семейство касательных в точках вокруг минимума:

касательная была направлена вниз, а после прохождения через эту точку - повернётся вверх.

Аналогично, если , то убывающая, что означает, что она проходит через 0 именно в процессе убывания, т.е. положительная в левой полуокрестности и отрицательна в правой. По теореме 3 это и означает, что в точке максимум. Теорема доказана.

Замечание. Этот факт легко запомнить: для параболы вторая производная равна +2, а там минимум, так как ветви этой параболы направлены вверх. Для будет , для неё - максимум.

Решим тот же самый пример теперь с помощью 2 производной. , = . Точки с нулевой производной 1 и 3. А теперь не будем искать знак производной на каждом интервале, а просто вычислим .

в точке максимум.

в точке минимум.

Но что делать, если окажется ? Как видим, такие ситуации тоже бывают, например, рассмотрим функции и . Для , , и там нет экстремума. Для 4-й степени, , тоже , но для есть минимум в нуле. В чём же разница и как узнавать, есть ли экстремум? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема 5. (достаточный признак экстремума на основе старших производных).

Если функция n раз дифференцируема, при этом , , ..., , и . Тогда:

если n нечётно то эrстремума нет,

если n чётно, то: при - то в точке минимум,

при в точке максимум.

(т.е. если чётно, то аналогично 2-й производной).

Доказательство.

Запишем формулу Тейлора, причём перенесём влево.

Но ведь здесь первые слагаемые обнуляются по условию теоремы.

, , ..., , тогда начинается именно с n-го слагаемого. , где - бесконечно малая более высокого порядка, чем n, то есть в некоторой окрестности она по модулю меньше чем и её знак уже не влияет на знак всего выражения. Тогда фактически, тогда знак разности в окрестности точки зависит от знака выражения .

При чётном n множитель всегда неотрицателен

n! по построению положительное число .

Значит, при получится всё выражение , тогда в окрестности точки , то есть . Это значит, что в точке минимум.

А если , то , и тогда а значит, . Это значит, что в точке максимум.

Если n нечётно, то разного знака в правой и в левой полуокрестности, то есть какого бы знака ни было число , выражение меняет знак при переходе из правой в левую полуокрестность. Тогда и в той или иной полуокрестности, и экстремума нет.

Замечание. Кстати, предыдущую теорему 4 можно было доказать таким же способом, n=2 это частный случай этой теоремы. Но там было показано более простое рассуждение, с помощью роста и убывания функции, чтобы было более понятно.

Набольшее и наименьшее значение на отрезке.

Если требуется найти наибольшее и наименьшее значение функции на каком-то множестве, нужно учесть не только экстремумы внутри множества, но и значения в правой и левой граничных точках.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значение на отрезке .

Решение. Сначала найдём экстремумы во внутренних точках. , только при . При этом , то есть, там минимум.

Осталось найти все значения функции в точках экстремума и в двух граничных точках и сравнить их:

Наибольшее значение в точке 2, наименьшее в точке 0. Не учитывать граничные точки нельзя, потому что наибольшее значение может оказаться именно там, а не в точках экстремума внутри интервала.

Лекция № 15. 16. 12. 2016

Экстремум функции нескольких переменных.

Определение (запишем для , но аналогично и для n-мерного).

Пусть , то есть . Точка называется точкой максимума (минимума), если (для минимума соответственно, ).

Идея та же самая, что и для функций одной переменной: максимум, если значение функции больше, чем в любой точки из окрестности, а минимум, если меньше. просто окрестность в плоскости это не интервал, а круг. А в пространстве - шар.

Пример. .

Вертикальные сечения параболоида - это параболы, ветвями направленные вверх, для них как для кривых просто обычный минимум. Частная производная по x равна 0, по y тоже.

Итак, в точке (0,0). Необходимый признак, аналог теоремы Ферма, здесь имеет место:

Если точка экстремума, то .

Физический смысл. Если задано распределение температур в пространстве, то есть точка максмальной и минимальной температуры. Так, существует точка минимальной температуры в земной атмосфере.

Условный экстремум.

Рассмотрим эллиптический параболоид, сделаем сечение вертикальной плоскостью, которая параллельна координатной плоскости. Для самой поверхности точка М ничем не характерна, рядом с ней есть и точки меньшей, и точки большей высоты. Но вот для сечения это - минимум.

То есть, если сузить область определения с плоской фигуры до одномерной линии, то от поверхности останется сечение, и для сечение, уже как просто для кривой, могут быть экстремумы, которых не было на самой поверхности. такие экстремумы называются «условными», потому что для сужения области определения применяется какое-то условие. Неявно задать кривую можно с помощью какого-то условия типа . Например, показанное на чертеже сечение получается, если фиксировать x, т.е. здесь условие вида , то есть . Итак, определение.

Определение. Пусть задана функция и некоторое неявное уравнение кривой в плоскости . Точка называется точкой условного максимума, если для любой точки принадлежащей .

Отличие от обычного максимума: для максимума в центре окрестности должно быть значение больше, чем в любой точке окрестности, а для условного максимума больше, чем во всех точках пересечения этой окрестности и кривой . (В других точках из окрестности, которые не принадлежат кривой, может быть не больше, а меньше).

Определение условного минимума вводится аналогично, лишь в неравенстве изменён знак: .

Эти понятия нужны для того, чтобы искать наибольшие и наименьшие значения в плоских областях. Ведь граница плоской области это линия, а не две точки a,b как было при поиске наибольшего значения на отрезке.

На наклонной плоскости, то есть для поверхностей типа , вообще нет точек экстремума, т.к. рядом с любой точкой есть другие точки, как выше, так и ниже. Градиент этой функции равен и он, очевидно, не равен (0,0). Но если сузить область определения, провести параболу под этой наклонной плоскостью, то на плоскости будет кривая, у которой уже есть точка минимальной высоты!

Пример. Дана функция . Найти условный экстремум этой функции на параболе .

Решение. Условие имеет вид .

Выразим все имеющиеся в функции через .

. Обычная производная , минимум в точке 0. Тогда условный минимум. Чертёж:

Пример. Найти отношение сторон прямоугольника, такое, что при фиксированном периметре получилась бы максимальная площадь. Ответ .

Выпуклость вверх (вниз) графика функции и связь со 2-й производной.

Асимптоты.

Лекция № 16. 23. 12. 2016

Основные теоремы дифф. исчисления.

71