§9. Ортогональные системы векторов

Евклидово пространство – это п-мерное векторное пространство, в котором задано скалярное произведение.

Рассмотрим систему ненулевых взаимно ортогональных векторов евклидова пространства . То есть такую систему, в которой каждый вектор ортогонален любому другому. Будем называть такую систему ортогональной.

Таким образом, для ортогональной системы справедливо, что

Теорема. Ортогональная система векторов образует базис евклидова пространства.

Доказательство. Рассмотрим систему ненулевых векторов , причём

Составим какую-либо линейную комбинацию, приравняем её к нулю и докажем, что равенство возможно только, когда все коэффициенты равны нулю.

.

Умножим обе части последнего равенства на

,

получим

Так как при , то равенство приобретает вид

Так как то .

Значит, на основании определения, ортогональная система линейно независима, а т.к. это система из -мерных векторов, то образует базис.

Базис, который образует ортогональная система векторов, называется ортогональным. Ортонормированным называется ортогональный базис, если длины векторов равны единице.

Очевидно, что система единичных векторов образует ортонормированный базис в R^п Частным случаем этого базиса является базис в R³.

Теорема. Координаты вектора в ортонормированном базисе равны скалярному произведению этого вектора на соответствующие базисные векторы.

Доказательство. Пусть образуют в евклидовом пространстве ортонормированный базис.

Рассмотрим произвольный вектор этого пространства. Согласно теореме о разложении вектора по базисным векторам

.

Умножим обе части последнего равенства скалярно на

так как , то а тогда равенство приобретает вид .

§10. Собственные векторы и собственные значения матриц

Пусть – квадратная матрица порядка и .

Число называется собственным значением матрицы , если существует ненулевой вектор , такой что выполнено равенство

(1)

Вектор , удовлетворяющий (1) называется собственным вектором матрицы , соответствующим собственному значению .

Справедливы следующие свойства.

1. Собственному вектору матрицы соответствует единственное собственное значение.

Действительно, если – два собственных значения вектора , то и , откуда или , значит , что противоречит определению. Значит .

2. Если собственный вектор матрицы , удовлетворяющий собственному значению , и – произвольное действительное число, то - так же собственный вектор с собственным значением.

Действительно, умножим обе части равенства на , получим или , следовательно, ненулевой вектор , удовлетворяет определению и поэтому является собственным вектором матрицы , соответствующим собственному значению .

3. Если и линейно независимые собственные векторы матрицы с одним и тем же собственным значением , то +– собственный векторс собственным значением .

Действительно, в силу линейной независимости и , причём , что согласно определению и означает, что вектор – собственный, отвечающий собственному значению .

4. Собственные векторы матрицы , соответствующие попарно различным собственным значениям являются линейно независимыми.

Докажем свойство для . Пусть и , . Предположим, что и - линейно зависимы, следовательно, существует линейная комбинация причём хотя бы один из коэффициентов и ненулевой. Пусть , тогда где . Значит, согласно свойству 2 вектор является собственным вектором матрицы , отвечающим собственному значению . Из единственности собственного значения для вектора следует, что . Значит, векторы и линейно независимы.

Вернёмся теперь к равенству (1) и преобразуем его.

получим

(2)

В развёрнутом виде (2) есть однородная система уравнений с неизвестными. Такая система согласно следствию 2 из §15 имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда её определитель равен нулю, то есть

(3)

Левая часть (3) есть многочлен степени по . Он называется характеристическим многочленом матрицы . Уравнение (3) называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристические числа или собственные значения матрицы . Совокупность всех собственных значений матрицы с учётом их кратности (как корней характеристического уравнения) называется спектром матрицы .

§ 11. Приведение матрицы к диагональному виду Теорема 1. Сумма собственных значение матрицы А, равна сумме её диагональных элементов, а произведение собственных значений равно определителю матрицы.

Доказательство. Рассмотрим случай размерности .

Выпишем характеристическое уравнение:

или .

По теореме Виета и .

Вывод: если матрица А имеет треугольный или диагональный вид, то собственные значения в точности совпадают с диагональными элементами.Поставим задачу привести данную матрицу к диагональной или треугольной форме не меняя собственных значений.

Квадратная матрица А называется приводимой к диагональному виду, если существует невырожденная матрица такая, что – диагональная.

Теорема 2. Пусть А – квадратная матрица порядка имеет линейно независимых собственных векторов. Если взять эти векторы в качестве столбцов матрицы , тогда матрица имеет диагональный вид, причём на диагонали стоят собственные значения матрицы А, то есть

.