4.9 . Сызықты теңдеулер жүйесін шешу әдістері.

Физикадағы көптеген практикалық есептер сызықты теңдеулер жүйесін шешуге негізделген. Мысалы:

теңдеулер жүйесінен тұратын жүйені жазайық:

(11.1)

Жүйе коэффициенттерінің жиынтын кесте түрінде жазамыз:

-ші ретті матрицаның анықтауышы деп, келесі шама айтамыз:

Сызықты теңдеулер жүйесінінің шешімі болу үшін болуы тиіс.

Сызықты теңдеулер жүйесін шешу негізгі екі топқа бөлінеді: тікелей есептеу және итерациялық. Тікелей әдістерге Крамер және Гаусс әдістері жатады.Итерациялық әдістерге Гаусс-Зейдель әдісі жатады.

Гаусс әдісі. Бұл әдіс жүйе матрицасын үш бұрышты түрге келтіруге негізделген. Гаусс әдісі екі әдістен тұрады: тура және кері әдіс. Тура әдісте белгісіз айнымалыларды біртіндеп жоямыз да, соңғы теңдеуден -ға байланысты мүшені қалдырамыз. Кері әдісте соңғы теңдеуден -ді тауып, әрі қарай белгісіз айнымалыларды табамыз.

Келесі жүйе үшін Гаусс әдісін қарастырамыз

(11.2)

2-ші теңдеудегі -ді жою үшін 1-ші теңдеуді -ге көбейтіп, 2-ші теңдеуге қосамыз. Сосын 1-ші теңдеуді көбейтіп 3-ші теңдеуге қосамыз. Сөйтіп келесі теңдеулер жүйесін аламыз:

(11.3)

Енді (11.3) жүйенің 3-ші теңдеуінен -ні алып тастау үшін (11.3) жүйенің 2-ші теңдеуін -ге көбейтіп 3-ші теңдеуге қосамыз. Келесі теңдеулер жүйесін аламыз:

(11.4)

(11.4)-ші жүйенің матрицасы үшбұрышты күйге келді. Осымен Гаусстың тура әдісі аяқталады.

Әрі қарай кері әдіс бойынша (11.4) жүйеден : .

Осы табылған мән арқылы 2-ші теңдеуден -ні, ал 1-ші теңдеуден -ді табамыз:

.

5. 14. 16. Дифференциалдық теңдеулерді шешу және әдістері. Коши есебі. Эйлер әдістері

Физикадағы ең маңызды және көп тараған есептердің бірі әртүрлі қозғалыс теңдеулері. Олардың қарапайымдары алғашқы шартпен берілген бір немесе бірнеше диффренциалдық теңдеулерді шешуді қажет етеді. Бірақ көп жағдайда бұндай теңдеулерді аналитикалық шешу мүмкін болмайды, сондықтан Коши есебін шешуге негізделген сандық әдістерді қолданнамыз. Сонымен қатар бұл әдістердің көмегімен шамалары уақытқа байланысты өзгеретін динамикалық есептерді шешуге болады.

Эйлер әдісі. Осындай айрымдық әдістің бірі Эйлер әдісі болып табылады. Мысал ретінде (14.2) алғашқы шартпен бірінші ретті диффренциалдық теңдеуді (14.1) шешуді қарастырамыз:

(14.1)

(14.2)

Бұл есептің шешімі айырымдық әдіс бойынша тордық функция түрінде, яғни кесте түрінде ізделінеді, мұндағы - тәуелсіз айнымалысының көптік мәндері (олар түйін деп аталады ), - түйіндегі -тің дәл шешімін аппроксимациялайтын мән. Түйіндерді тең қатарлы орналасқан деп есептесек, яғни , -қадам деп аталады, ол тұрақты шама болып табылады. Енді (14.1), (14.2) есебі тордық функцияны анықтайтын есепке келеді:

(14.3)

(14.4)

(14.3) туындысын шеткі-айырымдық өрнекпен алмастырамыз:

(14.5)

Осыған байланысты үшін келесі есептеу формуласын аламыз:

. (14.6)

Дәлірек Эйлер әдісі. Әдісті қарастыру үшін функциясын Тейлор қатарына жіктейміз:

(14.7)

Енді екінші ретті туындыны шеткі-айырымдық әдіс бойынша жазамыз:

. (14.8)

(14.8)-ші өрнекті (14.7)-ге қоя отырып келесі өрнекті аламыз:

. (14.9 )

Туындыларды келесі өрнектермен алмастырамыз

. (14.10)

Мұндағы -(14.6) формула бойынша анықталады.

Бұл әдістерден басқа диффренциалдық теңдеуді шешетін Рунге-Кутта әдісі бар.

6. Диффренциалдық теңдеулер жүйесін шешу. Рунге-Кутта әдісі.

Алғашқы шартпен берілген диффренциалдық теңдеулерді шешу үшін Эйлер әдістерінен басқа да бір қадамды әдістер бар. Мысал ретінде екі теңдеуден тұратын диффренциалды теңдеулер жүйесін қарастырамыз:

(14.11)

Рунге-Кутта әдісі Эйлер әдістеріне қарағанда дәлірек әдіс болып саналады. Есептеу үлгісі келесі түрде болады:

(14.12)

мұндағы

Егер жүйе бірнеше теңдеуден тұрса, онда мен сияқты сонша коэффиценттер қажет. Айта кететін жағдай, жоғарғы ретті диффренциалдық теңдеулер үшін Коши есебін бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер жүйесін шешуге келтіруге болады.

7. 10. Дербес туындылы теңдеулерді шешу әдістері. Лаплас теңдеуі

Жылуөткізгіштік теңдеуді үшін аралас есепті қарастырамыз.

(15.8)

теңдеуін және қанағаттандыратын функциясын табу керек.

Бастапқы шарт

, (15.9)

және шекаралық шарттар

, . (15.10)

берілген.

Есепті шешу үшін тор әдісін қолданамыз. Әдістің негізінетуындының н әндерін шекті-айырымды қатынаспен алмастыру жатыр. Тәуелсіз екі айнымалы бар жағдайды қарастырамыз. А йталық хОу жазықтығында шекарасымен қандай да бір облысы берілсін (Сурет 1).

Сурет 1

Жазықтықта екі паралель түзулер жиынтығын қарастырамыз:

, , i=0,1,2,…, k=0,1,2,…

Осы түзулердің қиылысқан нүктелерін түйіндер деп атайды.

Іздеп отырған и=и(х,у) функцияның мәндері тор түйіндерінде деп белгілейік. Әр ішкі түйіндердегі дербес туындыны шекті айырым қатынастары арқылы алмастырамыз:

Шекаралық нүктелерде келесі түрдегі формуланы қолданамыз

, .

Екінші ретті дербес туынды да сәйкесінше алмастырылады

Енді түріндегі теңдеуден келесі теңдеуге көшеміз

- =0.

деп алып, ішкі түйіндер үшін есептеуге арналған теңдеуді аламыз

(15.11)

болғанда (15.11) теңдеулері орнықты болады. болған кезде (15.9) теңдеуі мына түрде жазылады

(15.12)

Айталық (x,t) – (15.8)-(15.10) есептің шешімі болсын, – дәл мәннің тор әдісімен есептелген мәннен ауытқуы. Онда есептеу қателігі келесі формуламен есептелу керек

, (15.13)

мұндағы = ,